Test de repaso — Tema 1: Lógica y demostraciones

Este test está basado en las 15 preguntas del cuestionario original. Tiene una sola respuesta correcta por pregunta. Al terminar, pulsa Comprobar respuestas para ver tu nota, qué has acertado y qué has fallado. Después podrás estudiar la explicación sencilla de cada pregunta.

Cómo practicar

Intenta responder sin mirar las explicaciones. Si fallas una pregunta, lee su explicación y vuelve a hacer el test.

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1. ¿Cuándo es verdadera la proposición \(p \lor q\)?

A. Siempre que \(q\) no sea falsa. B. Cuando al menos una de las dos proposiciones es verdadera. C. Siempre que \(p\) no sea falsa. D. Siempre; es una tautología.

2. ¿Qué significa \(\neg(\forall x\, P(x)) \iff \exists x\,\neg P(x)\)?

A. Para todo \(x\), no se cumple \(P(x)\). B. Existe un \(x\) para el que se cumple \(P(x)\). C. No todos los valores de \(x\) cumplen \(P(x)\). D. Todos los valores de \(x\) cumplen \(P(x)\).

3. En la frase «Saturno no es más grande que la Tierra», ¿qué parte expresa el predicado o relación?

A. «Saturno». B. «No es más grande que». C. «La Tierra». D. La frase no contiene ningún predicado.

4. ¿Qué tipo de proposición es \(p \lor \neg p\)?

A. Una contradicción. B. Una tautología. C. Una contingencia. D. No se puede saber.

5. ¿A qué expresión equivale \(\neg\exists x\,(P(x)\Rightarrow Q(x))\)?

A. \(\exists x\,(P(x)\Rightarrow Q(x))\). B. \(\forall x\,(P(x)\lor\neg Q(x))\). C. \(\forall x\,(\neg P(x)\lor Q(x))\). D. \(\forall x\,(P(x)\land\neg Q(x))\).

6. Suponiendo que la expresión es \(((p\Rightarrow q)\land\neg q)\Rightarrow\neg p\), ¿qué podemos afirmar?

A. Es una tautología. B. Es una contradicción. C. Solo es verdadera cuando \(p\) y \(q\) son verdaderas. D. Siempre es falsa.

7. La operación NAND, definida como \(p\ \text{NAND}\ q=\neg(p\land q)\), es:

A. Conmutativa. B. Asociativa. C. Siempre verdadera. D. Siempre falsa.

8. ¿Es verdadera la equivalencia \(\neg(P(x)\land Q(x))\iff(\neg P(x)\lor\neg Q(x))\)?

A. No; la parte derecha siempre es falsa. B. No; solo funciona cuando ambas son verdaderas. C. Sí; es una de las leyes de De Morgan. D. No; es una contradicción.

9. ¿Es cierto que \(p\ \text{NAND}\ p\iff\neg p\)?

A. No son equivalentes. B. Sí, son lógicamente equivalentes. C. Falta información. D. Solo son equivalentes cuando \(p\) es verdadera.

10. La expresión \(((p\Rightarrow q)\land\neg q)\Rightarrow\neg p\) representa un razonamiento conocido como:

A. Afirmación del consecuente. B. Negación del antecedente. C. Silogismo disyuntivo. D. Modus tollens (razonamiento por contraposición).

11. En una implicación \(p\Rightarrow q\):

A. \(p\) es la premisa. B. \(q\) es la consecuencia. C. \(p\) es la hipótesis o antecedente. D. Todas las anteriores son correctas.

12. «Si \(n\) es un entero impar, entonces \(n^2\) es impar». ¿Cómo se puede demostrar?

A. Solo de forma directa. B. Solo por contraposición. C. No se puede demostrar. D. Tanto de forma directa como por contraposición.

13. Los métodos de demostración directo e indirecto son:

A. Métodos inductivos. B. Métodos que se basan en probar muchos ejemplos. C. Métodos que van de lo particular a lo general. D. Métodos deductivos; parten de hipótesis o hechos aceptados para llegar a una conclusión.

14. Si sabemos que \(p\Rightarrow q\) es verdadera, ¿podemos concluir que \(\neg p\Rightarrow\neg q\) también lo es?

A. Sí, siempre. B. Sí, porque es la contraposición. C. Sí, porque negar las dos partes no cambia la implicación. D. No; \(\neg p\Rightarrow\neg q\) es la inversa, no la contraposición.

15. Al hacer demostraciones matemáticas debemos prestar atención a:

A. Los errores de aritmética básica. B. Los errores de álgebra básica. C. Tanto los errores aritméticos como los algebraicos. D. Ningún error importa si la conclusión parece correcta.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

Lee estas explicaciones después de hacer el test. La idea es que entiendas la regla y puedas reconocerla aunque en el examen cambien las letras o el ejemplo.

1. Respuesta correcta: B — La disyunción \(p\lor q\)

El símbolo \(\lor\) significa **«o»**. En lógica, este «o» es inclusivo: basta con que una de las dos proposiciones sea verdadera. También puede ocurrir que las dos sean verdaderas. | \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) | |---|---|---| | V | V | V | | V | F | V | | F | V | V | | F | F | F | **Truco para el examen:** una disyunción solo es falsa cuando **las dos partes son falsas**. No confundas «o» con «y».

2. Respuesta correcta: C — Negar un «para todo»

- \(\forall x\) significa **«para todos los valores de x»**. - \(\exists x\) significa **«existe al menos un valor de x»**. - \(\neg\) significa **«no»**. Por eso, decir «no todos cumplen algo» significa que **hay por lo menos uno que no lo cumple**. Ejemplo: «No todos los alumnos aprobaron» significa que existe al menos un alumno que no aprobó. No significa que ninguno aprobara. **Regla para memorizar:** \[ \neg(\forall x\,P(x))\iff\exists x\,\neg P(x) \] Al negar «todos», aparece «existe al menos uno que no».

3. Respuesta correcta: B — El predicado es la relación

En «Saturno no es más grande que la Tierra»: - **Saturno** y **la Tierra** son los objetos de los que hablamos. - **«No es más grande que»** expresa la propiedad o relación que los conecta. Eso es el predicado: lo que afirmamos sobre uno o varios objetos. Si escribimos \(R(x,y)\), \(R\) sería la relación «no es más grande que», mientras que \(x\) e \(y\) serían los lugares donde ponemos los objetos. **Importante:** en la frase original, Saturno y la Tierra son nombres concretos, no variables. Por eso la pregunta original, que preguntaba cuál era la «variable libre», estaba mal planteada. Aquí se ha corregido para que tenga una respuesta válida.

4. Respuesta correcta: B — La tautología \(p\lor\neg p\)

Una tautología es una expresión que sale **verdadera en todos los casos**. \(p\lor\neg p\) significa «p es verdadera o p no es verdadera». Solo hay dos posibilidades: - Si \(p\) es verdadera, gana la primera parte. - Si \(p\) es falsa, \(\neg p\) es verdadera. Siempre hay una parte verdadera. Por eso es una tautología. **Truco:** «algo o su negación» siempre es verdadero.

5. Respuesta correcta: D — Negar una existencia y una implicación

Vamos paso a paso: 1. \(\neg\exists x\) significa «no existe ningún \(x\) que...». Es equivalente a decir «para todo \(x\), no...». 2. Una implicación \(P\Rightarrow Q\) solo es falsa cuando \(P\) es verdadera y \(Q\) es falsa. 3. Por tanto, \(\neg(P\Rightarrow Q)\) equivale a \(P\land\neg Q\). Juntándolo: \[ \neg\exists x(P(x)\Rightarrow Q(x)) \iff \forall x(P(x)\land\neg Q(x)) \] **Ojo con la trampa:** aparece \(\land\) («y»), no \(\lor\) («o»). Para que una implicación sea falsa, tienen que darse las dos cosas: \(P\) verdadera y \(Q\) falsa.

6. Respuesta correcta: A — Es una tautología (modus tollens)

La expresión es: \[ ((p\Rightarrow q)\land\neg q)\Rightarrow\neg p \] Se lee así: «Si p implica q y q es falsa, entonces p también tiene que ser falsa». Imagina: «Si llueve, la calle se moja». Si sabemos que la calle **no** está mojada, podemos concluir que **no** ha llovido (suponiendo que se cumple la regla del ejemplo). Este razonamiento se llama **modus tollens**. Es válido en todos los casos, así que la expresión es una tautología. **Esquema para memorizar:** \(p\Rightarrow q\), no \(q\), por tanto no \(p\).

7. Respuesta correcta: A — NAND es conmutativa

NAND significa «NO (p Y q)»: \[ p\ \text{NAND}\ q=\neg(p\land q) \] Es conmutativa porque cambiar el orden no cambia el resultado: \[ p\ \text{NAND}\ q=q\ \text{NAND}\ p \] Por ejemplo, «p y q» da lo mismo que «q y p»; al negar el resultado, sigue dando lo mismo. No es asociativa en general: al agrupar tres valores de distintas maneras pueden salir resultados diferentes. Tampoco es siempre verdadera ni siempre falsa. **Truco:** NAND solo da falso cuando p y q son las dos verdaderas.

8. Respuesta correcta: C — Ley de De Morgan

La equivalencia es: \[ \neg(P\land Q)\iff(\neg P\lor\neg Q) \] Es una de las **leyes de De Morgan**. Dice que negar un «y» es lo mismo que negar cada parte y cambiar el «y» por un «o». Ejemplo: «No es cierto que tenga pan y leche» significa «no tengo pan o no tengo leche» (puede faltar uno o pueden faltar los dos). La equivalencia funciona siempre, por eso es verdadera.

9. Respuesta correcta: B — NAND de una proposición consigo misma

Sustituimos \(q\) por \(p\): \[ p\ \text{NAND}\ p=\neg(p\land p) \] Como \(p\land p\) es simplemente \(p\), queda: \[ \neg(p\land p)=\neg p \] Por eso son lógicamente equivalentes: siempre tienen el mismo valor de verdad. **Truco:** una proposición haciendo NAND consigo misma equivale a su negación.

10. Respuesta correcta: D — Modus tollens

Es el mismo razonamiento de la pregunta 6, ahora preguntando por su nombre: 1. Si \(p\), entonces \(q\). 2. No se cumple \(q\). 3. Por tanto, no se cumple \(p\). Eso es **modus tollens**. No es afirmar el consecuente ni negar el antecedente. **Recuerda la diferencia:** - Modus ponens: \(p\Rightarrow q\), \(p\); concluimos \(q\). - Modus tollens: \(p\Rightarrow q\), \(\neg q\); concluimos \(\neg p\).

11. Respuesta correcta: D — Partes de una implicación

En \(p\Rightarrow q\): - \(p\) es el **antecedente**, hipótesis o premisa. - \(q\) es el **consecuente**, conclusión o consecuencia. Se lee «si p, entonces q». Primero tenemos la condición (\(p\)) y después lo que se deduce (\(q\)). **Truco:** lo que aparece antes de la flecha es el antecedente; lo que aparece después es el consecuente.

12. Respuesta correcta: D — Demostración directa y por contraposición

**Directa:** si \(n\) es impar, podemos escribir \(n=2k+1\), donde \(k\) es un entero. Entonces: \[ n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 =2(2k^2+2k)+1 \] Tiene la forma \(2m+1\), así que es impar. **Por contraposición:** la contraposición de «si \(n\) es impar, entonces \(n^2\) es impar» es «si \(n^2\) es par, entonces \(n\) es par». Si \(n^2\) es par, \(n\) no puede ser impar; por tanto, es par. Ambas demostraciones prueban la misma afirmación. **Recuerda:** un entero impar siempre se puede escribir como \(2k+1\).

13. Respuesta correcta: D — Son métodos deductivos

Un razonamiento **deductivo** parte de unas hipótesis o reglas aceptadas y, siguiendo pasos lógicos, llega a una conclusión que se desprende de ellas. - **Directo:** partes de lo que sabes y avanzas hasta demostrar lo que quieres. - **Indirecto:** supones que lo que quieres demostrar es falso y buscas una contradicción, o demuestras la contraposición. La inducción basada en ejemplos es distinta: observar muchos casos puede sugerir una regla, pero no demuestra por sí solo que sea cierta para todos. **Truco:** demostrar no es probar unos cuantos ejemplos; es justificarlo con lógica.

14. Respuesta correcta: D — La inversa no es la contraposición

Si tenemos: \[ p\Rightarrow q \] Su **contraposición** es: \[ \neg q\Rightarrow\neg p \] Estas dos expresiones siempre son lógicamente equivalentes. En cambio, la expresión: \[ \neg p\Rightarrow\neg q \] se llama **inversa** y no tiene por qué ser equivalente a la original. Ejemplo: «Si un número es múltiplo de 4, entonces es par» es verdadero. Pero «si un número no es múltiplo de 4, entonces no es par» es falso: el 6 no es múltiplo de 4 y sí es par. **Muy importante para el examen:** la contraposición cambia el orden y niega las dos partes. No basta con negar las dos partes sin cambiar el orden.

15. Respuesta correcta: C — Cuidado con los cálculos

Una demostración puede tener una idea lógica correcta y, aun así, estar mal si hacemos una operación incorrecta. Hay que revisar: - **Aritmética:** sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. - **Álgebra:** signos, paréntesis, potencias, simplificaciones y despejes. Por ejemplo, no podemos decir que \(2=1\) mediante una operación ilegal. Si dividimos entre cero o hacemos una transformación que no conserva la igualdad, la demostración deja de ser válida. **Truco:** revisa tanto el razonamiento como cada operación matemática.

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Chuleta final: reglas que debes saber para el examen

Concepto	Qué debes recordar
\(p\land q\)	«Y»: solo es verdadera si las dos son verdaderas.
\(p\lor q\)	«O»: es verdadera si al menos una es verdadera.
\(\neg p\)	«No p»: cambia verdadero por falso y falso por verdadero.
\(p\Rightarrow q\)	Solo es falsa cuando \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa.
\(\forall x\)	Para todo \(x\).
\(\exists x\)	Existe al menos un \(x\).
Negar \(\forall\)	Se convierte en \(\exists\) y se niega el predicado.
Tautología	Siempre verdadera.
Contradicción	Siempre falsa.
Contingencia	A veces verdadera y a veces falsa.
De Morgan	\(\neg(P\land Q)\iff\neg P\lor\neg Q\).
NAND	\(\neg(p\land q)\); solo es falsa si ambas entradas son verdaderas.
Modus ponens	\(p\Rightarrow q\), \(p\); luego \(q\).
Modus tollens	\(p\Rightarrow q\), \(\neg q\); luego \(\neg p\).
Contraposición	\(p\Rightarrow q\) equivale a \(\neg q\Rightarrow\neg p\).