Test Tema 8 — Relaciones y matrices booleanas

Test interactivo para repasar producto cartesiano, relaciones, matrices booleanas y propiedades de las relaciones. Selecciona una opción en cada pregunta y pulsa Corregir test para obtener la nota y consultar las explicaciones.

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Pregunta 1

¿Cuál es el producto cartesiano de dos conjuntos A y B?

A. El conjunto de todos los elementos que están en A o en B. B. El conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. C. El conjunto de todos los elementos que están en A y en B. D. El conjunto de todos los pares ordenados (a, a) donde a ∈ A.

Respuesta correcta: B. A × B reúne todas las parejas ordenadas (a, b) con el primer componente tomado de A y el segundo de B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y}, entonces A × B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)}. No es una unión ni una intersección.

Pregunta 2

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera acerca del dominio de una relación?

A. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos en los pares ordenados de R. B. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los pares ordenados de R. C. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos en los pares ordenados de R. D. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los elementos que están en R.

Respuesta correcta: C. En una relación formada por pares (a, b), el dominio contiene los valores que aparecen como primera componente. Los valores que aparecen como segunda componente forman la imagen o rango de la relación.

Pregunta 3

¿Qué es una matriz booleana?

A. Una matriz en la que todos los elementos son números reales. B. Una matriz en la que todos los elementos son 0 o 1. C. Una matriz en la que todos los elementos son números enteros positivos. D. Una matriz en la que todos los elementos son números complejos.

Respuesta correcta: B. Una matriz booleana solo contiene ceros y unos. Habitualmente, 1 indica que una relación se cumple y 0 que no se cumple.

Pregunta 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el producto booleano de dos matrices booleanas A y B?

A. Cada elemento se obtiene sumando los productos correspondientes de A y B. B. Cada elemento se obtiene tomando el máximo de los productos correspondientes de A y B. C. Cada elemento se obtiene tomando el mínimo de los productos correspondientes de A y B. D. Cada elemento se obtiene tomando el OR lógico de los productos correspondientes de A y B.

Respuesta correcta: D. Para calcular la entrada (i,j) del producto booleano, se hace el AND lógico de cada pareja de entradas correspondientes y después el OR lógico de esos resultados. Es como el producto matricial habitual, pero se sustituyen suma por OR y multiplicación por AND.

Pregunta 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una relación representada por una matriz booleana M?

A. Si Mᵢⱼ = 1, entonces no existe relación entre los elementos i y j. B. Si Mᵢⱼ = 0, entonces existe relación entre los elementos i y j. C. Si Mᵢⱼ = 1, entonces existe relación entre los elementos i y j. D. Si Mᵢⱼ = 0, entonces los elementos i y j son iguales.

Respuesta correcta: C. La matriz codifica la relación: un 1 en la posición (i,j) indica que el par (i,j) pertenece a R; un 0 indica que ese par no pertenece a R. El cero no implica que los elementos sean distintos.

Pregunta 6

¿Cuál es una propiedad clave de una matriz booleana cuadrada que representa una relación reflexiva?

A. Todos los elementos en la diagonal principal son 0. B. Todos los elementos en la diagonal principal son 1. C. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. D. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son 1.

Respuesta correcta: B. Una relación es reflexiva si cada elemento está relacionado consigo mismo: (a,a) ∈ R para todo a. En su matriz, esto se traduce en unos en todas las posiciones de la diagonal principal.

Pregunta 7

¿Qué describe el cierre transitivo de una relación representada por una matriz booleana?

A. Una matriz que solo tiene unos en la diagonal principal. B. Una matriz que muestra la relación original más las relaciones adicionales necesarias para hacerla transitiva. C. Una matriz donde todos los elementos son unos. D. Una matriz donde todos los elementos son ceros.

Respuesta correcta: B. El cierre transitivo añade los pares que faltan para que se cumpla la regla: si a está relacionado con b y b con c, entonces a debe estar relacionado con c. Se añaden solo las relaciones necesarias, no se convierte necesariamente toda la matriz en unos.

Pregunta 8

¿Cuál de las siguientes propiedades es necesaria para que una relación sea de equivalencia?

A. Reflexividad. B. Asimetría. C. Antisimetría. D. Ninguna de las anteriores.

Respuesta correcta: A. Una relación de equivalencia debe ser reflexiva, simétrica y transitiva. La asimetría y la antisimetría no forman parte de esa definición.

Pregunta 9

¿Qué se entiende por el cierre reflexivo de una relación R?

A. El conjunto de todos los pares ordenados en R. B. La relación original R más los pares (a,a) para cada elemento a del conjunto de referencia. C. El conjunto de todos los segundos elementos en los pares ordenados de R. D. El conjunto de todos los primeros elementos en los pares ordenados de R.

Respuesta correcta: B. Para hacer reflexiva una relación, se añaden los pares (a,a) que falten para todos los elementos del conjunto base. La opción B del campus dice «cada R en el dominio», pero la notación correcta es cada elemento a del conjunto sobre el que está definida la relación.

Pregunta 10

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la composición de dos relaciones R y S?

A. Los pares (a,c) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún b. B. Los pares (a,b) tales que (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ S. C. Los pares (b,c) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún a. D. Los pares (b,a) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún a.

Respuesta correcta: A. La composición conecta dos pasos: primero a se relaciona con b mediante R y después b con c mediante S. El resultado conecta directamente a con c. La definición es R seguida de S (según la convención de composición usada en el enunciado).

Pregunta 11

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una relación reflexiva?

A. Cada elemento está relacionado con al menos otro elemento distinto. B. Cada par de elementos distintos están relacionados en ambas direcciones. C. Cada elemento está relacionado consigo mismo. D. No existen pares de elementos relacionados.

Respuesta correcta: C. Reflexiva significa que cada elemento se relaciona consigo mismo. Formalmente, para todo a del conjunto, (a,a) ∈ R. No exige ninguna relación entre elementos distintos.

Pregunta 12

¿Cuál de las siguientes propiedades describe una relación simétrica?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. C. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto. D. Si (a,b) ∈ R y (a,c) ∈ R, entonces b = c.

Respuesta correcta: A. Simétrica significa que la relación funciona en ambos sentidos: si a está relacionado con b, entonces b también está relacionado con a. La B define transitividad y la C define reflexividad.

Pregunta 13

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una relación antisimétrica?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R, entonces a = b. C. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. D. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto.

Respuesta correcta: B. Antisimétrica significa que dos elementos distintos no pueden estar relacionados en ambos sentidos a la vez. Si aRb y bRa, necesariamente a = b. No significa que esté prohibido que un elemento se relacione consigo mismo.

Pregunta 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe una relación transitiva?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. C. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto. D. Si (a,b) ∈ R y (a,c) ∈ R, entonces b = c.

Respuesta correcta: B. Transitiva significa que se puede encadenar la relación: si a se relaciona con b y b con c, entonces a debe relacionarse con c. Es la propiedad que permite añadir conexiones en el cierre transitivo.

Pregunta 15

¿Cuál de las siguientes propiedades no es necesaria para que una relación sea de equivalencia?

A. Reflexividad. B. Simetría. C. Transitividad. D. Antisimetría.

Respuesta correcta: D. Para ser una relación de equivalencia se necesitan exactamente estas tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. La antisimetría no es necesaria y, en general, puede entrar en conflicto con la simetría cuando hay dos elementos distintos relacionados en ambos sentidos.

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Chuleta final — Tema 8

1. Producto cartesiano y relaciones

• Producto cartesiano: \(A \times B = \{(a,b): a \in A,\ b \in B\}\). El orden de los componentes importa.
• Relación: cualquier subconjunto de un producto cartesiano. Si \((a,b) \in R\), a está relacionado con b.
• Dominio de R: conjunto de primeras componentes de los pares de R.
• Imagen o rango: conjunto de segundas componentes que aparecen en R.

2. Matrices booleanas

• Solo contienen 0 y 1.
• Para representar una relación, \(M_{ij}=1\) significa que existe la relación de i a j; \(M_{ij}=0\) significa que no existe.
• Si la relación es reflexiva, toda la diagonal principal está formada por unos.
• Producto booleano: se calcula como un producto matricial, pero usando AND (∧) en lugar de multiplicar y OR (∨) en lugar de sumar:

\[ (A \odot B)_{ij} = \bigvee_k (A_{ik} \land B_{kj}) \]

Es decir: para cada posición, se combinan los productos lógicos con OR.

3. Propiedades de las relaciones

Propiedad	Regla	Cómo recordarla
Reflexiva	\((a,a) \in R\) para todo a	Cada elemento consigo mismo
Simétrica	Si \(aRb\), entonces \(bRa\)	Si va, vuelve
Antisimétrica	Si \(aRb\) y \(bRa\), entonces \(a=b\)	En ambos sentidos solo si son el mismo
Transitiva	Si \(aRb\) y \(bRc\), entonces \(aRc\)	Si encadena, conecta

Ojo con simétrica y antisimétrica: no son lo mismo. Una relación simétrica obliga a que la flecha de vuelta exista. Una antisimétrica permite flechas en ambos sentidos únicamente cuando los dos elementos son iguales.

4. Cierres de relaciones

• Cierre reflexivo: añade los pares \((a,a)\) que falten.
• Cierre simétrico: añade los pares inversos \((b,a)\) cuando ya existe \((a,b)\).
• Cierre transitivo: añade los pares necesarios para que, si \(aRb\) y \(bRc\), también exista \(aRc\).

El cierre conserva todos los pares originales y añade los mínimos necesarios para cumplir la propiedad correspondiente.

5. Relaciones de equivalencia

Una relación es de equivalencia si cumple simultáneamente:

1. Reflexividad: cada elemento se relaciona consigo mismo.
2. Simetría: si a se relaciona con b, b se relaciona con a.
3. Transitividad: si a se relaciona con b y b con c, a se relaciona con c.

No se exige antisimetría.

6. Composición de relaciones

Si \((a,b) \in R\) y \((b,c) \in S\), la composición conecta a con c:

\[ (a,c) \in S \circ R \]

Con esta convención, primero se recorre R y después S. Algunos materiales escriben la composición en el orden \(R;S\), así que conviene fijarse en la definición que use el enunciado.

7. Trucos para el examen

• Producto cartesiano = parejas ordenadas; unión = elementos de uno u otro conjunto.
• Dominio = primeras coordenadas; imagen = segundas coordenadas.
• Matriz de relación: 1 significa «sí hay relación» y 0 significa «no hay relación».
• Reflexiva = diagonal llena de unos.
• Simétrica = si hay una flecha, también hay flecha de vuelta.
• Antisimétrica = dos flechas opuestas solo pueden darse entre el mismo elemento.
• Transitiva = dos pasos consecutivos implican el atajo directo.
• Equivalencia = reflexiva + simétrica + transitiva.