Test Tema 7 — Conjuntos y funciones

Test interactivo para repasar conjuntos, operaciones, relaciones y funciones. Selecciona una respuesta en cada pregunta y pulsa Corregir test para ver tu resultado y las explicaciones.

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Pregunta 1

¿Qué es un conjunto según la definición de George Cantor?

A. Una colección ordenada de objetos (o elementos). B. Una colección desordenada de objetos (o elementos). C. Una colección de objetos finitos únicamente. D. Una colección de objetos infinitos únicamente.

Respuesta correcta: B. Un conjunto es una colección bien definida de elementos. El orden no importa: {1, 2, 3} representa el mismo conjunto que {3, 2, 1}. Además, puede ser finito o infinito.

Pregunta 2

¿Cuál de los siguientes conjuntos es un conjunto finito?

A. El conjunto de los números naturales. B. El conjunto de los números enteros. C. El conjunto de los números reales. D. El conjunto de los días de la semana.

Respuesta correcta: D. Los días de la semana son exactamente siete, así que forman un conjunto finito. Los naturales, los enteros y los reales son conjuntos infinitos.

Pregunta 3

¿Qué representa el producto cartesiano de dos conjuntos A y B?

A. El conjunto de elementos comunes a A y B. B. El conjunto de todos los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B. C. El conjunto de elementos únicos en A y B. D. El conjunto de todos los subconjuntos de A.

Respuesta correcta: B. El producto cartesiano se escribe A × B y contiene todos los pares (a, b), con a ∈ A y b ∈ B. El orden importa: en general, A × B no es lo mismo que B × A.

Pregunta 4

¿Cómo se representa gráficamente la relación entre conjuntos?

A. Usando matrices. B. Usando gráficos de barras. C. Usando diagramas de Venn. D. Usando diagramas de dispersión.

Respuesta correcta: C. Los diagramas de Venn muestran los conjuntos mediante regiones, normalmente círculos, y permiten visualizar relaciones como unión, intersección, inclusión y complemento.

Pregunta 5

¿Qué indica una intersección en un diagrama de Venn?

A. Los elementos que pertenecen únicamente a un conjunto. B. Los elementos que pertenecen a todos los conjuntos representados. C. Los elementos que no pertenecen a ningún conjunto. D. Los elementos que pertenecen a, al menos, uno de los conjuntos.

Respuesta correcta: B. La intersección A ∩ B contiene los elementos que están simultáneamente en A y en B. Para más de dos conjuntos, la intersección reúne los que pertenecen a todos ellos.

Pregunta 6

¿Qué significa que un conjunto A sea un subconjunto de un conjunto B?

A. A y B tienen al menos un elemento en común. B. Todo elemento de A es también un elemento de B. C. A y B tienen la misma cantidad de elementos. D. Ningún elemento de A está en B.

Respuesta correcta: B. A ⊆ B significa que, si un elemento pertenece a A, necesariamente pertenece también a B. No exige que A y B sean distintos: un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo.

Pregunta 7

¿Cuál de las siguientes propiedades es correcta sobre el conjunto de las partes P(A)?

A. P(A) contiene solo los elementos de A. B. P(A) contiene todos los subconjuntos de A. C. P(A) es igual a A. D. P(A) siempre contiene el conjunto vacío.

Respuesta correcta: B. El conjunto de las partes P(A) es, por definición, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Por ejemplo, si A = {1, 2}, entonces P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. La opción D también describe una propiedad verdadera de P(A), porque ∅ siempre es subconjunto de A; pero la definición general que se pregunta es la B.

Pregunta 8

¿Cuál es el número de elementos en el conjunto de las partes P(A) si A tiene n elementos?

A. n. B. 2n. C. n². D. 2ⁿ.

Respuesta correcta: D (2ⁿ). Cada uno de los n elementos tiene dos posibilidades independientes: estar o no estar en un subconjunto. Por tanto, hay 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ subconjuntos. Ojo: 2ⁿ no es lo mismo que 2n.

Nota: en el texto copiado del campus, las opciones B y D aparecen con el exponente poco claro. Se interpreta que D es 2ⁿ, que es la fórmula correcta.

Pregunta 9

¿Qué representa la unión de dos conjuntos A y B?

A. Los elementos que están solo en A. B. Los elementos que están solo en B. C. Los elementos que están en A y en B. D. Los elementos que están en A o en B o en ambos.

Respuesta correcta: D. A ∪ B contiene todos los elementos que pertenecen a A, a B o a los dos. En lógica, la «o» de la unión es inclusiva: también incluye los elementos comunes.

Pregunta 10

¿Cuál es el complemento de un conjunto A en un universo U?

A. El conjunto de todos los elementos en A. B. El conjunto de todos los elementos en U que no están en A. C. El conjunto de todos los elementos en A que no están en U. D. El conjunto de todos los elementos en U.

Respuesta correcta: B. El complemento de A (Aᶜ o U \\ A) reúne los elementos del universo U que no pertenecen a A. Siempre depende del universo que se haya fijado.

Pregunta 11

¿Cuál es la definición de una función según la teoría de conjuntos?

A. Una relación en la que cada elemento del dominio se asigna a, al menos, un elemento del codominio. B. Una relación en la que cada elemento del dominio se asigna a exactamente un elemento del codominio. C. Una relación en la que cada elemento del codominio se asigna a exactamente un elemento del dominio. D. Una relación en la que cada elemento del codominio se asigna a al menos un elemento del dominio.

Respuesta correcta: B. Una función asigna a cada entrada del dominio una única salida. Puede haber dos entradas distintas con la misma salida, y no es obligatorio que todos los elementos del codominio se utilicen.

Pregunta 12

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una función inyectiva?

A. Cada elemento del dominio se asigna a exactamente un elemento del codominio. B. Cada elemento del codominio es alcanzado por al menos un elemento del dominio. C. Cada elemento del codominio es alcanzado por como máximo un elemento del dominio. D. Cada elemento del dominio es alcanzado por al menos un elemento del codominio.

Respuesta correcta: C. Una función es inyectiva si no repite resultados para entradas distintas: si f(a) = f(b), entonces a = b. Dicho de otro modo, cada elemento del codominio recibe como máximo una flecha desde el dominio. La A es la definición de función en general.

Pregunta 13

¿Cuál es la diferencia entre el dominio y el codominio de una función?

A. El dominio es el conjunto de valores que la función puede alcanzar, mientras que el codominio es el conjunto de valores de entrada. B. El dominio es el conjunto de valores de entrada para los cuales la función está definida, mientras que el codominio es el conjunto de valores potencialmente alcanzables por la función. C. El dominio es el conjunto de valores potencialmente alcanzables por la función, mientras que el codominio es el conjunto de valores de entrada. D. El dominio y el codominio son siempre iguales para cualquier función.

Respuesta correcta: B. El dominio contiene las entradas permitidas. El codominio es el conjunto de llegada declarado para las salidas. La imagen o recorrido es el conjunto de valores que la función alcanza realmente, y puede ser solo una parte del codominio.

Pregunta 14

¿Qué es una función biyectiva?

A. Una función que es tanto inyectiva como suprayectiva. B. Una función en la que cada elemento del dominio se asigna a exactamente un elemento del codominio. C. Una función en la que cada elemento del codominio es alcanzado por más de un elemento del dominio. D. Una función en la que cada elemento del dominio se asigna a más de un elemento del codominio.

Respuesta correcta: A. Biyectiva significa inyectiva y suprayectiva a la vez. Cada elemento del codominio es alcanzado por una única entrada: no hay salidas repetidas y no queda ningún elemento del codominio sin alcanzar. Una biyectiva tiene función inversa.

Pregunta 15

¿Qué se entiende por la composición de funciones?

A. La suma de dos funciones. B. La aplicación de una función al resultado de otra función. C. La multiplicación de dos funciones. D. La resta de dos funciones.

Respuesta correcta: B. La composición se escribe (g ∘ f)(x) = g(f(x)): primero se aplica f y después g al resultado. Hay que comprobar que las salidas de f pertenecen al dominio de g.

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Chuleta final — Tema 7

1. Conjuntos

• Conjunto: colección bien definida y desordenada de elementos. El orden no importa y no se cuentan duplicados.
• Conjunto finito: tiene un número limitado de elementos. Ejemplo: los siete días de la semana.
• Subconjunto: \(A \subseteq B\) significa que todo elemento de A también pertenece a B.
• Conjunto de las partes: \(\mathcal{P}(A)\) contiene todos los subconjuntos de A, incluido el conjunto vacío y el propio A.
• Si A tiene n elementos, entonces \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\).

2. Operaciones con conjuntos

Operación	Símbolo	Significado
Unión	\(A \cup B\)	Está en A, en B o en ambos
Intersección	\(A \cap B\)	Está en A y en B
Complemento	\(A^c\) o \(U \setminus A\)	Está en el universo U, pero no en A
Diferencia	\(A \setminus B\)	Está en A, pero no en B
Producto cartesiano	\(A \times B\)	Pares ordenados (a, b), con a ∈ A y b ∈ B

Truco para memorizar: - Unión = juntar (la «o» inclusiva). - Intersección = lo común (la «y»). - Complemento = lo que queda fuera de A dentro del universo. - Producto cartesiano = formar parejas ordenadas.

3. Funciones

Una función \(f: A \to B\) asigna a cada elemento del dominio A exactamente una salida en el codominio B.

• Dominio: conjunto de entradas permitidas.
• Codominio: conjunto de llegada declarado.
• Imagen o recorrido: valores del codominio que se alcanzan realmente.

Tipo de función	Idea clave
Inyectiva	Entradas distintas tienen salidas distintas. Ningún elemento del codominio recibe más de una flecha.
Suprayectiva	Todos los elementos del codominio reciben al menos una flecha.
Biyectiva	Es inyectiva y suprayectiva: cada elemento del codominio recibe exactamente una flecha.

Regla rápida: inyectiva = no repite; suprayectiva = llega a todos; biyectiva = no repite y llega a todos.

4. Composición de funciones

\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]

Primero se aplica f y después g. El resultado de f debe poder utilizarse como entrada de g.

5. Ideas que suelen caer en el test

• Un conjunto no es una lista ordenada.
• El conjunto de las partes contiene conjuntos (subconjuntos), no simplemente los elementos originales.
• Si hay n elementos, hay \(2^n\) subconjuntos, no \(2n\).
• La unión incluye los elementos comunes; la intersección se queda precisamente con ellos.
• Una función no puede asignar dos salidas distintas a una misma entrada.
• Inyectiva no significa que se use todo el codominio; eso es suprayectiva.
• El codominio y la imagen no tienen por qué coincidir.
• En una composición \(g \circ f\), se empieza por la función que aparece más cerca de x: primero f, luego g.