Test Tema 3: Recursión y matrices

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1. ¿Qué son las funciones recursivas?

A. Funciones que siempre retornan el mismo valor. B. Funciones que se definen en función de sí mismas. C. Funciones que solo se utilizan en matemáticas. D. Funciones que no pueden llamarse a sí mismas.

2. Para poder realizar la suma de dos matrices, ¿qué condición se debe cumplir?

A. Que el número de columnas de la primera coincida con las filas de la segunda. B. Que ambas matrices sean cuadradas de orden n. C. Que ambas matrices tengan las mismas dimensiones (mismo número de filas y de columnas). D. Que una de las matrices sea la matriz identidad.

3. ¿Cuál es una propiedad fundamental del producto de matrices que lo diferencia del álgebra tradicional?

A. El producto de matrices no es conmutativo: normalmente, A × B no es igual a B × A. B. El orden de los factores no altera nunca el resultado. C. Solo se pueden multiplicar matrices que sean exactamente iguales. D. El elemento neutro del producto es la matriz cero.

4. ¿Cómo se define una matriz simétrica?

A. Es una matriz donde solo los coeficientes de la diagonal son distintos de cero. B. Es una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a uno. C. Es una matriz que tiene todos sus coeficientes superiores iguales a cero. D. Es una matriz cuadrada cuyos elementos son iguales a los situados en la posición reflejada respecto a la diagonal: aᵢⱼ = aⱼᵢ.

5. ¿Cómo se calcula la potencia de una matriz cuadrada, por ejemplo A²?

A. Elevando cada coeficiente individual de la matriz al cuadrado. B. Multiplicando la matriz por su matriz transpuesta. C. Sumando la matriz consigo misma dos veces. D. Multiplicando la matriz por sí misma: A × A.

6. ¿Qué condición fundamental debe cumplirse para que una matriz B sea la inversa de una matriz A?

A. Que la suma de ambas matrices sea igual a la matriz cero. B. Que A × B y B × A den como resultado la matriz identidad. C. Que la matriz A sea rectangular con más filas que columnas. D. Que todos los elementos de la diagonal de B sean negativos.

7. ¿En qué consiste la operación de trasponer una matriz?

A. En multiplicar todos los coeficientes por un número negativo. B. En calcular el determinante y dividirlo por cada fila. C. En convertir las filas en columnas y las columnas en filas. D. En eliminar la última fila y la última columna.

8. ¿Cuál es el resultado de calcular el determinante de una matriz?

A. Una nueva matriz del mismo orden. B. Siempre el número cero. C. Una matriz identidad si el determinante es positivo. D. Un número escalar (un único número).

9. Si A y B son matrices invertibles, ¿cuál es la inversa de su producto (A × B)⁻¹?

A. B⁻¹ × A⁻¹: las inversas aparecen en orden contrario. B. A⁻¹ × B⁻¹: las inversas mantienen el mismo orden. C. La inversa de un producto no se puede calcular. D. Es igual a la transpuesta de la suma de ambas matrices.

10. ¿Qué sucede con el determinante de una matriz si tiene una fila o una columna formada completamente por ceros?

A. El determinante es igual a uno. B. El determinante se vuelve infinito. C. El determinante es cero. D. El determinante coincide necesariamente con el primer elemento a₁₁.

11. ¿Qué define a una matriz booleana o matriz 0-1?

A. Una matriz cuyos elementos son números enteros del 0 al 9. B. Una matriz en la que todos los elementos son exclusivamente ceros o unos. C. Una matriz que solo contiene unos en su diagonal principal. D. Una matriz que resulta de dividir todos sus elementos por el determinante.

12. ¿Cuál es la condición necesaria para realizar la unión (disyunción) o intersección de dos matrices booleanas?

A. Que ambas matrices tengan las mismas dimensiones (m × n). B. Que las columnas de la primera coincidan con las filas de la segunda. C. Que al menos una sea la matriz identidad. D. Que ambas sean cuadradas.

13. En la intersección booleana de dos elementos, ¿cuándo es el resultado igual a 1?

A. Cuando al menos uno de los dos elementos es 1. B. Cuando ambos elementos son 0. C. Solo cuando ambos elementos son 1. D. Cuando la suma de los elementos es mayor que 1.

14. ¿Cómo se realiza el producto booleano de dos matrices?

A. Sumando directamente los elementos correspondientes. B. Como el producto matricial habitual, pero usando AND (intersección) para combinar y OR (unión) para reunir los resultados. C. Multiplicando únicamente cada elemento por el que ocupa la misma posición. D. Calculando los determinantes y multiplicándolos.

15. ¿Por qué son importantes las matrices booleanas en computación?

A. Porque permiten realizar cálculos con decimales de alta precisión. B. Porque sus operaciones de unión e intersección sirven para representar relaciones y realizar operaciones lógicas usadas en programas y algoritmos. C. Porque son las únicas matrices que pueden invertirse mediante Gauss. D. Porque eliminan la necesidad de utilizar variables en programación.

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Soluciones explicadas: aprende el tema

Lee estas explicaciones después de hacer el test. Están pensadas para entender la idea, no solo para memorizar la letra correcta.

1. Funciones recursivas

Respuesta correcta: B. Funciones que se definen en función de sí mismas.

Una función recursiva es una función que se llama a sí misma para resolver un problema más pequeño.

Ejemplo: el factorial. El factorial de 4 es:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
• Podemos definirlo así: factorial(n) = n × factorial(n-1).
• Pero necesitamos un final: factorial(1) = 1.

La función va reduciendo el problema hasta llegar al caso base. Sin ese caso base, podría llamarse una y otra vez sin terminar.

Qué debes recordar: recursión = una función se llama a sí misma + tiene una condición para detenerse.

2. Suma de matrices

Respuesta correcta: C. Las dos matrices deben tener las mismas dimensiones.

Para sumar matrices, sumamos los elementos que están en la misma posición. Por eso tienen que tener el mismo número de filas y de columnas.

Ejemplo:

\[ \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix} \]

La primera posición se suma con la primera, la segunda con la segunda, etc.

Ojo con la palabra «rango»: en matemáticas, el rango de una matriz es otro concepto. Lo que exige la suma es que tengan las mismas dimensiones u orden (mismo número de filas y columnas).

Qué debes recordar: para sumar o restar matrices, deben tener exactamente el mismo tamaño.

3. Producto de matrices: no es conmutativo

Respuesta correcta: A. Normalmente, A × B no es igual a B × A.

Con números normales, 2 × 3 es igual a 3 × 2. Pero con matrices, cambiar el orden puede cambiar el resultado.

Por ejemplo, aunque los dos productos existan, puede ocurrir que:

\[ A \times B \ne B \times A \]

Además, a veces A × B se puede calcular y B × A ni siquiera está definido, porque las dimensiones no encajan.

Qué debes recordar: el producto de matrices no es conmutativo. El orden importa.

4. Matriz simétrica

Respuesta correcta: D. Los elementos coinciden respecto a la diagonal principal.

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que se ve igual al reflejarla sobre su diagonal principal.

Su condición es:

\[ a_{ij}=a_{ji} \]

Esto significa que el elemento de la fila 1, columna 2 debe ser igual al de la fila 2, columna 1, y así sucesivamente.

Ejemplo:

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix} \]

Los dos elementos que están fuera de la diagonal son 2. Por eso es simétrica.

Qué debes recordar: simétrica = espejo respecto a la diagonal principal. Siempre es cuadrada.

5. Potencia de una matriz

Respuesta correcta: D. A² = A × A.

Elevar una matriz al cuadrado significa multiplicarla por sí misma, siguiendo las reglas del producto matricial.

\[ A^2=A\times A \]

No significa elevar cada número por separado al cuadrado. Tampoco significa sumar la matriz consigo misma.

Para poder calcular A², la matriz debe ser cuadrada, porque el número de columnas debe coincidir con el número de filas en el producto.

Qué debes recordar: potencia de matriz = producto matricial repetido.

6. Matriz inversa

Respuesta correcta: B. El producto por su inversa da la matriz identidad.

La matriz inversa es parecida al inverso de un número. Por ejemplo, el inverso de 5 es ⅕, porque 5 × 1/5 = 1.

En matrices, el equivalente del número 1 es la matriz identidad (una matriz con unos en la diagonal principal y ceros en el resto).

Si B es la inversa de A:

\[ A B=B A=I \]

No todas las matrices tienen inversa: debe ser cuadrada y tener determinante distinto de cero.

Qué debes recordar: matriz × matriz inversa = identidad. La inversa solo existe para matrices cuadradas invertibles.

7. Matriz traspuesta

Respuesta correcta: C. Las filas pasan a ser columnas y las columnas pasan a ser filas.

Trasponer una matriz es intercambiar filas por columnas. Se representa con una T: \(A^T\).

Ejemplo:

\[ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \qquad A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} \]

La primera fila (1, 2, 3) se convierte en la primera columna. La segunda fila (4, 5, 6) se convierte en la segunda columna.

Qué debes recordar: trasponer = cambiar filas por columnas. Una matriz de 2 × 3 pasa a ser de 3 × 2.

8. Determinante

Respuesta correcta: D. El determinante es un número escalar.

El determinante no es otra matriz: es un único número que se calcula a partir de una matriz cuadrada.

Por ejemplo, para una matriz 2 × 2:

\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \qquad \det(A)=ad-bc \]

Ese resultado puede ser positivo, negativo o cero.

El determinante sirve, entre otras cosas, para saber si una matriz cuadrada tiene inversa: si el determinante es cero, no tiene inversa.

Qué debes recordar: determinante = un número, no una matriz.

9. Inversa de un producto

Respuesta correcta: A. (A × B)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹.

Esta regla es muy importante: al invertir un producto de matrices, el orden se da la vuelta.

\[ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \]

¿Por qué? Porque el orden de las matrices importa. No podemos invertirlas manteniendo el mismo orden.

Truco para el examen: imagina que AB está escrito de izquierda a derecha. Al calcular la inversa, lee las inversas al revés: primero la de B y después la de A.

Qué debes recordar: la inversa de un producto invierte el orden.

10. Fila o columna de ceros y determinante

Respuesta correcta: C. El determinante es cero.

Si una matriz cuadrada tiene una fila completa de ceros o una columna completa de ceros, su determinante vale cero.

Ejemplo:

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} \qquad \det(A)=1\cdot0-2\cdot0=0 \]

No hay que confundirlo con tener simplemente algún elemento igual a cero: eso no obliga a que el determinante sea cero. Tiene que haber una fila o columna entera de ceros (o cumplirse otra condición que haga nulo el determinante).

Qué debes recordar: una fila completa o una columna completa de ceros ⇒ determinante cero.

11. Matriz booleana o 0-1

Respuesta correcta: B. Solo contiene ceros y unos.

Una matriz booleana es una matriz cuyos elementos solo pueden ser:

• 0, que podemos interpretar como falso.
• 1, que podemos interpretar como verdadero.

Ejemplo:

\[ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \]

Estas matrices son útiles para representar relaciones, conexiones o respuestas de sí/no.

Qué debes recordar: matriz booleana = solo ceros y unos.

12. Unión e intersección de matrices booleanas

Respuesta correcta: A. Deben tener las mismas dimensiones.

La unión (OR, disyunción) y la intersección (AND, conjunción) se hacen elemento a elemento, comparando las posiciones correspondientes.

Por eso las dos matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

Ejemplo:

\[ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \quad\text{y}\quad \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} \]

Podemos comparar el elemento de arriba a la izquierda con el de arriba a la izquierda, y así con todos.

Qué debes recordar: unión e intersección booleanas se hacen posición a posición; las matrices deben tener el mismo tamaño.

13. Intersección booleana (AND)

Respuesta correcta: C. Solo si los dos elementos son 1.

La intersección funciona como un «Y» lógico (AND). Para que el resultado sea 1, las dos condiciones tienen que ser verdaderas.

Primer valor	Segundo valor	AND
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Piensa en esta frase: «Apruebo si estudio y hago el examen». Las dos cosas deben cumplirse.

Qué debes recordar: AND = 1 únicamente cuando ambos valores son 1.

14. Producto booleano de matrices

Respuesta correcta: B. Se usa AND para combinar y OR para reunir los resultados.

El producto booleano se parece al producto normal de matrices, pero cambia las operaciones:

• Donde el producto normal multiplica, usamos AND (intersección).
• Donde el producto normal suma, usamos OR (unión).

Para cada posición del resultado, combinamos los elementos de una fila con los de una columna mediante AND y reunimos los resultados mediante OR.

Ejemplo de la idea:

\[ (1\land0)\lor(1\land1)=0\lor1=1 \]

Qué debes recordar: producto booleano = AND dentro de cada pareja y OR para unir los resultados.

15. Importancia de las matrices booleanas en computación

Respuesta correcta: B. Sus operaciones lógicas ayudan a representar relaciones y a trabajar con algoritmos.

Los ordenadores trabajan constantemente con información que puede representarse como verdadero o falso, encendido o apagado, conectado o no conectado.

Las matrices booleanas permiten representar, por ejemplo, si existe una conexión entre dos ordenadores o si dos elementos están relacionados.

Sus operaciones AND y OR permiten combinar esa información de forma lógica.

Qué debes recordar: las matrices booleanas sirven para representar relaciones y aplicar operaciones lógicas en informática.

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Chuleta final para el examen

Concepto	Lo que tienes que recordar
Recursión	Una función se llama a sí misma. Necesita un caso base.
Suma de matrices	Mismas filas y mismas columnas.
Producto de matrices	El orden importa: normalmente AB ≠ BA.
Matriz simétrica	\(a_{ij}=a_{ji}\); es cuadrada.
Potencia	\(A^2=A\times A\).
Matriz inversa	\(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).
Traspuesta	Filas ↔ columnas.
Determinante	Es un número escalar.
Inversa de un producto	\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
Fila o columna de ceros	Determinante igual a cero.
Matriz booleana	Solo contiene 0 y 1.
Unión (OR)	Da 1 si al menos uno es 1.
Intersección (AND)	Da 1 solo si ambos son 1.
Producto booleano	AND para combinar; OR para reunir.

Consejo para aprobar

Si dominas las diferencias entre suma y producto de matrices, sabes qué significa la inversa y la traspuesta, y recuerdas las reglas AND/OR de las matrices booleanas, tendrás cubiertas las ideas centrales de este test.