Test de repaso — Tema 2: Inducción matemática y recursión

Este test está basado en las 15 preguntas del cuestionario original. Tiene una sola respuesta correcta por pregunta. Responde y pulsa Comprobar respuestas para conocer tu nota y ver qué preguntas has acertado o fallado. Al final encontrarás las soluciones explicadas paso a paso.

Cómo estudiar

Haz primero el test sin mirar las soluciones. Después lee las explicaciones, especialmente las preguntas que hayas fallado, y vuelve a intentarlo.

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1. ¿Qué es la inducción matemática?

A. Un método para calcular límites. B. Un método de demostración para proposiciones sobre números naturales. C. Una técnica para resolver ecuaciones diferenciales. D. Un procedimiento para simplificar expresiones algebraicas.

2. ¿Cuál es el primer paso de una demostración por inducción?

A. Definir la hipótesis inductiva. B. Probar el paso inductivo. C. Demostrar el caso base. D. Comprobar todos los números naturales uno por uno.

3. ¿Qué se hace en el paso inductivo?

A. Se supone que la proposición es falsa para algún número. B. Se demuestra que, si es cierta para \(n\), también lo es para \(n+1\). C. Se concluye que la proposición es falsa para todos los naturales. D. Se inventa una proposición diferente.

4. ¿En qué consiste la inducción matemática fuerte?

A. En no demostrar ningún caso inicial. B. En suponer que la propiedad se cumple para todos los naturales anteriores hasta \(n\), y usarlo para demostrar el siguiente caso. C. En resolver ecuaciones de grado alto. D. En comprobar únicamente el último número de una sucesión.

5. ¿Cuál de estas afirmaciones es un ejemplo típico para demostrar por inducción?

A. Una fórmula para la suma de los primeros \(n\) números naturales. B. La derivada de una función polinómica. C. El cálculo de una integral definida concreta. D. El cálculo de un límite de una función.

6. ¿Cuál es la diferencia principal entre inducción ordinaria e inducción fuerte?

A. La ordinaria no necesita caso base. B. La fuerte no necesita hipótesis inductiva. C. La fuerte permite utilizar como hipótesis todos los casos anteriores, no solo el caso \(n\). D. La ordinaria solo sirve para sucesiones finitas.

7. ¿Qué se demuestra en el caso base?

A. Que la propiedad es falsa para el primer natural. B. Que la propiedad se cumple para todos los naturales de golpe. C. Que la propiedad es verdadera para el primer valor considerado. D. Que la propiedad es verdadera para \(n+1\), sin hipótesis.

8. En una demostración por inducción fuerte sobre Fibonacci, ¿qué se supone en la hipótesis inductiva?

A. Que la propiedad solo se cumple para el primer término. B. Que la propiedad se cumple para todos los términos anteriores hasta un índice \(n\). C. Que la propiedad solo se cumple para los términos pares. D. Que la propiedad ya se cumple para \(n+1\).

9. ¿Qué hay que probar en el paso inductivo ordinario?

A. Que la proposición es cierta para un número cualquiera, sin partir de nada. B. Que si la proposición vale para \(n\), entonces también vale para \(n+1\). C. Que la proposición es falsa para \(n+1\). D. Que la proposición no sirve para los números naturales.

10. ¿Por qué se usa la inducción para demostrar propiedades de la sucesión de Fibonacci?

A. Porque siempre es más rápida que cualquier otro método. B. Porque ningún otro método puede utilizarse. C. Porque permite demostrar una propiedad para todos los términos, comprobando los casos iniciales y el paso inductivo. D. Porque Fibonacci es una sucesión aritmética.

11. ¿Qué son las funciones recursivas?

A. Funciones que siempre devuelven el mismo valor. B. Funciones definidas utilizando valores de la propia función en casos anteriores o más sencillos. C. Funciones que solo se usan en matemáticas y nunca en programación. D. Funciones que no pueden llamarse a sí mismas.

12. ¿Para qué sirve el caso base en una definición recursiva?

A. Para que la función se ejecute indefinidamente. B. Para establecer el valor inicial o el caso que se resuelve directamente. C. Para calcular todos los valores futuros sin ninguna regla. D. Para provocar un error cuando se llama a la función.

13. ¿Qué se define en el paso recursivo?

A. El valor inicial de la función. B. Únicamente el mensaje de error. C. Una regla para obtener un valor a partir de uno o varios valores anteriores. D. El tiempo exacto que tardará el programa.

14. ¿Cómo se relacionan la recursión y la inducción matemática?

A. No tienen ninguna relación. B. Son exactamente lo mismo. C. La inducción puede utilizarse para demostrar que una definición o función recursiva cumple una propiedad. D. La inducción es siempre un caso especial de recursión.

15. ¿Cuál de estas estructuras puede definirse recursivamente?

A. Una ecuación lineal. B. Un árbol binario. C. Una función cuadrática. D. Una operación aritmética aislada.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Qué es la inducción matemática

La **inducción matemática** es una forma de demostrar que una afirmación es verdadera para todos los números naturales a partir de cierto punto. Imagina una fila infinita de fichas de dominó: - Compruebas que cae la primera ficha. - Compruebas que, si cae una ficha cualquiera, también cae la siguiente. Entonces caerán todas. En matemáticas ocurre algo parecido: demostramos un primer caso y después que cada caso lleva al siguiente. **Para el examen:** la inducción sirve para demostrar propiedades que se cumplen para una cantidad infinita de números naturales. No es un método para calcular límites ni para resolver ecuaciones diferenciales.

2. Respuesta correcta: C — Primero se demuestra el caso base

El primer paso es comprobar que la propiedad funciona en el primer número que queremos estudiar. A esto lo llamamos **caso base**. Por ejemplo, si queremos demostrar algo para todos los naturales desde \(n=1\), primero comprobamos que funciona cuando \(n=1\). Después haremos el paso inductivo. **Orden habitual:** 1. Caso base. 2. Hipótesis inductiva: suponemos que funciona para \(n\). 3. Paso inductivo: demostramos que entonces funciona para \(n+1\). **Truco:** primero aseguras la primera ficha del dominó; después demuestras que cada ficha empuja a la siguiente.

3. Respuesta correcta: B — Demostrar que funciona para el siguiente número

En el paso inductivo suponemos que nuestra propiedad es cierta para un número natural \(n\). A eso se le llama **hipótesis inductiva**. Con esa suposición, tenemos que demostrar que también es cierta para \(n+1\). Es decir: \[ P(n)\Rightarrow P(n+1) \] ¡Ojo! No estamos suponiendo que la propiedad sea cierta para todos los números. Solo la suponemos para un \(n\) cualquiera y demostramos el siguiente. **Ejemplo:** si ya sabemos que una ficha de dominó cae, demostramos que esa ficha hace caer la siguiente.

4. Respuesta correcta: B — Inducción fuerte

La inducción fuerte es una variante de la inducción normal. - **Inducción ordinaria:** supones que la propiedad funciona para \(n\) y demuestras que funciona para \(n+1\). - **Inducción fuerte:** supones que funciona para todos los valores anteriores (desde el caso inicial hasta \(n\)) y utilizas esa información para demostrar \(n+1\). ¿Por qué puede ser útil? Porque a veces para demostrar el siguiente caso necesitamos varios resultados anteriores, no solamente el inmediatamente anterior. **Ejemplo:** para construir o estudiar una sucesión, puede que el término siguiente dependa de los dos anteriores. La inducción fuerte permite disponer de todos los casos previos. **Importante:** también hay que comprobar los casos base necesarios.

5. Respuesta correcta: A — La suma de los primeros números naturales

Un ejemplo clásico es demostrar esta fórmula: \[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \] Podemos demostrarla por inducción: - **Caso base:** para \(n=1\), la suma es 1 y la fórmula da \(1(2)/2=1\). Funciona. - **Hipótesis:** suponemos que para cierto \(n\), la suma vale \(n(n+1)/2\). - **Paso:** añadimos el siguiente número, \(n+1\), y comprobamos que obtenemos la fórmula para \(n+1\). La inducción es especialmente útil para fórmulas que contienen \(n\) y que queremos demostrar para todos los naturales. **Truco:** si ves una afirmación del tipo «para todo número natural \(n\)», piensa si puede demostrarse por inducción.

6. Respuesta correcta: C — La hipótesis es más amplia en la inducción fuerte

La diferencia está en lo que podemos suponer: - **Ordinaria:** suponemos que \(P(n)\) es cierta. - **Fuerte:** suponemos que \(P(1), P(2), \ldots, P(n)\) son ciertas. En ambos casos queremos demostrar \(P(n+1)\). La inducción fuerte no elimina el caso base ni la hipótesis inductiva. Lo que cambia es que podemos utilizar todos los casos anteriores. **Truco para memorizar:** ordinaria = el caso anterior; fuerte = todos los casos anteriores.

7. Respuesta correcta: C — Comprobar el primer caso

El caso base consiste en demostrar que la propiedad funciona para el primer número natural del que hablamos. Por ejemplo, si la afirmación empieza en \(n=0\), probamos \(P(0)\). Si empieza en \(n=1\), probamos \(P(1)\). No tenemos que demostrar todos los números en el caso base: eso sería imposible si hay infinitos. Para los siguientes utilizamos el paso inductivo. **Truco:** el caso base es el primer dominó. Si no cae el primero, la cadena no empieza.

8. Respuesta correcta: B — Hipótesis fuerte aplicada a Fibonacci

La sucesión de Fibonacci comienza habitualmente así: \[ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ldots \] Cada término se obtiene sumando los dos anteriores: \[ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \] Por eso, para una demostración por inducción fuerte, podemos suponer que la propiedad se cumple para todos los términos anteriores que necesitemos. Después utilizamos esa información para demostrar que también se cumple para el término siguiente. **Ojo:** como Fibonacci utiliza dos términos anteriores, hay que cuidar los casos base iniciales (normalmente \(F_0\) y \(F_1\), según cómo se formule la propiedad).

9. Respuesta correcta: B — El paso inductivo ordinario

El paso inductivo tiene una misión muy concreta: \[ P(n)\Rightarrow P(n+1) \] Lo leemos así: «Si la propiedad es cierta para \(n\), entonces también es cierta para el siguiente número, \(n+1\)». No basta con comprobar que \(P(n+1)\) parece funcionar con un ejemplo. Hay que demostrarlo usando la hipótesis \(P(n)\). **Truco:** el paso inductivo siempre conecta un caso con el siguiente.

10. Respuesta correcta: C — Demostrar una propiedad para todos los términos de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci tiene infinitos términos. Si comprobamos que una propiedad funciona para los primeros cinco, diez o cien términos, todavía no hemos demostrado que funcione para todos. La inducción permite demostrarlo de manera general: 1. Comprobamos los términos iniciales necesarios. 2. Suponemos que la propiedad se cumple en los casos anteriores que correspondan. 3. Demostramos que se cumple para el siguiente término. **Importante:** Fibonacci no es una sucesión aritmética. Es una sucesión definida por recurrencia: cada término depende de términos anteriores.

11. Respuesta correcta: B — Funciones recursivas

Una función recursiva es una función que se define utilizando la propia función en versiones más sencillas del problema. Un ejemplo muy conocido es el factorial: \[ n!=n\cdot(n-1)! \] Por ejemplo: \[ 5!=5\cdot4!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 \] La función se llama a sí misma para calcular un caso más pequeño. En programación sucede lo mismo: una función puede llamarse a sí misma para resolver una parte más sencilla del problema. **Truco:** recursión significa que algo se define o resuelve usando versiones más pequeñas de sí mismo.

12. Respuesta correcta: B — El caso base de la recursión

El caso base es el punto donde la recursión deja de llamarse a sí misma y ya sabe qué resultado devolver. Por ejemplo, en el factorial: \[ 0!=1 \] Este es el caso base. Y para los demás números: \[ n!=n\cdot(n-1)! \] Si no existiera el caso base, la función seguiría llamándose una y otra vez sin llegar a una respuesta. En un programa podría provocar un desbordamiento de la pila (*stack overflow*). **Truco:** caso base = punto de parada y respuesta conocida.

13. Respuesta correcta: C — El paso recursivo

El paso recursivo es la regla que permite construir un caso a partir de otros más pequeños o anteriores. En el factorial: \[ n!=n\cdot(n-1)! \] - Caso base: \(0!=1\). - Paso recursivo: \(n!=n\cdot(n-1)!\). El caso base dice dónde empezar o parar. El paso recursivo dice cómo calcular los demás valores. **Truco:** base = valor conocido; recursivo = regla para avanzar.

14. Respuesta correcta: C — Recursión e inducción trabajan juntas

La recursión sirve para **definir** algo usando casos anteriores. La inducción sirve para **demostrar** que una propiedad se cumple en todos los casos. Por ejemplo, podemos definir el factorial de forma recursiva: \[ 0!=1,\qquad n!=n(n-1)! \] Después podemos usar inducción para demostrar que una fórmula relacionada con el factorial es correcta para todos los naturales. En programación, también podemos usar inducción para demostrar que una función recursiva devuelve el resultado esperado. **Idea clave:** - Recursión: cómo se construye o calcula. - Inducción: cómo demostramos que funciona correctamente.

15. Respuesta correcta: B — Los árboles binarios

Un árbol binario es una estructura que puede definirse recursivamente porque está formado por partes que también pueden ser árboles binarios. De forma sencilla: - Un árbol puede estar vacío. - O puede tener una raíz y dos subárboles: uno izquierdo y otro derecho. - Cada subárbol puede tener a su vez otros subárboles.


Un árbol binario se construye mediante una raíz y subárboles.

Esto es una definición recursiva: una estructura se construye a partir de estructuras más pequeñas del mismo tipo. **Truco:** listas, árboles y otras estructuras de datos pueden definirse recursivamente.

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Chuleta final: lo imprescindible para aprobar

1. Inducción matemática

Parte	Qué haces
Caso base	Compruebas que la propiedad funciona para el primer valor.
Hipótesis inductiva	Supones que funciona para un \(n\) cualquiera.
Paso inductivo	Demuestras que, si funciona para \(n\), también funciona para \(n+1\).

La idea completa es:

\[ P(n_0)\quad\text{y}\quad P(n)\Rightarrow P(n+1) \]

Así puedes concluir que la propiedad se cumple para todos los naturales desde \(n_0\).

2. Inducción ordinaria frente a fuerte

Ordinaria	Fuerte
Supones \(P(n)\).	Supones \(P(n_0),\ldots,P(n)\).
Demuestras \(P(n+1)\).	Demuestras \(P(n+1)\).
Utilizas el caso anterior.	Puedes utilizar todos los anteriores.

3. Recursión

Una definición recursiva necesita dos piezas:

• Caso base: valor conocido que detiene la recursión.
• Paso recursivo: regla para obtener un caso usando otros más sencillos.

Ejemplo del factorial:

\[ 0!=1,\qquad n!=n\cdot(n-1)! \]

4. Diferencia entre inducción y recursión

• Inducción: sirve para demostrar que algo es cierto para todos los casos.
• Recursión: sirve para definir o calcular algo a partir de casos anteriores.

Qué debes memorizar sí o sí: caso base, hipótesis inductiva, paso inductivo, diferencia entre inducción ordinaria y fuerte, caso base recursivo y paso recursivo.