Test Tema 4 — Sistemas de ecuaciones lineales y eliminación de Gauss¶
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Cómo se calcula la nota
Se respetan las puntuaciones del campus: las preguntas 1–5 y 11–15 valen 0,70 puntos; las preguntas 6–10 valen 0,60 puntos. El total es de 10 puntos.
Chuleta final — Sistemas lineales y método de Gauss¶
1. Forma matricial¶
Un sistema de ecuaciones lineales se representa como:
- A: matriz de coeficientes.
- x: vector de incógnitas.
- b: vector de términos independientes.
- Matriz ampliada: \([A\mid b]\).
2. Tipos de sistemas¶
| Tipo | Número de soluciones | Idea clave |
|---|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | Una | Solución única |
| Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas | Hay parámetros libres |
| Incompatible (SI) | Ninguna | Aparece una contradicción |
3. Teorema de Rouché–Capelli¶
Si hay \(n\) incógnitas:
- Compatible si \(rango(A)=rango([A\mid b])\).
- Compatible determinado si ambos rangos son iguales a \(n\).
- Compatible indeterminado si los rangos son iguales, pero menores que \(n\).
- Incompatible si los rangos son distintos.
4. Rango, singularidad e invertibilidad¶
- El rango es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes.
- Una matriz cuadrada es singular si su determinante es 0; no tiene inversa.
- Una matriz cuadrada es invertible si su determinante es distinto de 0.
- Si \(A\) es invertible, \(Ax=b\) tiene solución única: \(x=A^{-1}b\).
5. Eliminación de Gauss¶
Objetivo: transformar el sistema en una forma escalonada (triangular superior en el caso cuadrado) para resolverlo mediante sustitución regresiva.
Operaciones elementales por filas:
- Intercambiar dos filas.
- Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
- Sumar a una fila un múltiplo de otra.
Para anular un elemento bajo el pivote:
La matriz ampliada completa \([A\mid b]\) debe recibir las mismas operaciones.
6. Pivotaje parcial escalado¶
En la columna del pivote se compara, para cada fila candidata, el cociente:
donde \(s_i\) es la escala de la fila (habitualmente, el mayor valor absoluto de sus coeficientes). Se elige el cociente mayor y se intercambian filas si es necesario. Esto ayuda a evitar divisiones por pivotes demasiado pequeños y mejora la estabilidad numérica.
7. Detectar contradicciones rápidamente¶
- Una fila \([0\;0\;\cdots\;0\mid 0]\) representa \(0=0\): no añade contradicción.
- Una fila \([0\;0\;\cdots\;0\mid c]\), con \(c\ne0\), representa \(0=c\): el sistema es incompatible.
Dos matices importantes del test
- Pregunta 7: la opción B es la más cercana, pero el pivotaje parcial escalado no consiste simplemente en escoger el mayor elemento sin más: compara los cocientes escalados \(|a_{ik}|/s_i\).
- Pregunta 12: la opción C da la definición de sistema compatible indeterminado. La D también describe una forma habitual de expresar sus soluciones mediante parámetros.
- Pregunta 15: la opción B es la pretendida, pero la condición completa es \(rango(A)=rango([A\mid b])=n\), no solo \(rango(A)=n\).