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Test Tarea 1.1: Álgebra Matricial y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Este test consta de 30 preguntas teóricas y prácticas diseñadas con la misma estructura y plantilla global que el resto del curso. Cubre de forma exhaustiva los contenidos de la tarea académica: operaciones matriciales, dimensión, producto de matrices, determinantes, matriz inversa, eliminación gaussiana y discusión de sistemas lineales.

Puntuación y Criterios de Examen

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1. Dada una matriz A de dimensión 3×3, ¿cómo se calcula la matriz producto por un escalar -2A?
2. Si A es una matriz cuadrada de orden 3×3 con det(A) = 5, ¿cuál es el determinante de la matriz -2A?
3. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que se pueda realizar el producto de dos matrices A · B?
4. Si A es una matriz 3×3 y B es un vector columna de dimensión 3×1, ¿qué se puede afirmar sobre las operaciones A·B y B·A?
5. ¿Por qué en el álgebra matricial se afirma que el producto de matrices NO es conmutativo?
6. ¿Para qué tipo de matrices está definido el concepto de determinante?
7. Si en una tarea se pide calcular el determinante de un vector columna B de tamaño 3×1, ¿cuál es la respuesta numéricamente correcta?
8. Dada la matriz A = [[1, 0, 2], [1, -1, -1], [-1, -1, 2]], calcula su determinante mediante la regla de Sarrus.
9. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A posea inversa A⁻¹?
10. ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la inversa de una matriz A mediante la matriz traspuesta de adjuntos?
11. Si A = [[1, 0, 2], [1, -1, -1], [-1, -1, 2]] y det(A) = 5, ¿cuál es su matriz inversa A⁻¹?
12. Dada la ecuación matricial AX = B con A invertible, ¿cuál es la solución explícita para X?
13. ¿Cuál es el objetivo principal de la fase de eliminación hacia adelante en el método de Gauss?
14. ¿Cuál de las siguientes NO es una operación elemental por filas válida en el método de Gauss?
15. Dado el sistema AX = B con A = [[1,0,2],[1,-1,-1],[-1,-1,2]] y B = [6, -3, 2]ᵀ, ¿cuál es la solución única X = (x, y, z)ᵀ?
16. Si en la matriz A = [[1, 0, 2], [1, -1, -1], [-1, -1, 2]] cambiamos la tercera fila por el vector (2, -6, -6), ¿por qué la nueva matriz A' pasa a ser singular?
17. Al cambiar la tercera fila por (2, -6, -6), si el rango de la matriz de coeficientes se reduce a 2 y la matriz ampliada tiene rango 3, ¿qué tipo de sistema resulta?
18. ¿Qué establece el Teorema de Rouché-Capelli para un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas?
19. Durante la eliminación de Gauss, ¿qué indica la aparición de una fila del tipo [0, 0, 0 | 5] en la matriz ampliada?
20. ¿Qué representa una fila completamente llena de ceros [0, 0, 0 | 0] tras el escalonamiento de Gauss?
21. Si A es una matriz cuadrada y Aᵀ es su traspuesta, ¿cuál es la relación entre sus determinantes?
22. Si A es una matriz invertible con det(A) = 5, ¿cuál es el determinante de su matriz inversa A⁻¹?
23. ¿Qué representa el rango de una matriz?
24. ¿Cuál es la propiedad fundamental de la matriz identidad I en el producto de matrices cuadradas?
25. Una vez que la matriz ampliada está en forma triangular superior mediante Gauss, ¿cuál es el siguiente paso para resolver las incógnitas?
26. En el algoritmo de Gauss con aritmética flotante, ¿cuál es el objetivo de utilizar la técnica de pivotaje parcial?
27. ¿Qué caracteriza a un sistema de ecuaciones lineales homogéneo (AX = 0)?
28. ¿Cuál es la propiedad correcta de la traspuesta del producto de dos matrices (A · B)ᵀ?
29. Si A y B son dos matrices cuadradas invertibles del mismo orden, ¿a qué es igual la inversa de su producto (A · B)⁻¹?
30. En un sistema compatible indeterminado con n incógnitas y rango r (con r < n), ¿cuántos parámetros libres requiere la solución general?

Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Producto de una matriz por un escalar El producto de un escalar $k \in \mathbb{R}$ por una matriz $A = (a_{ij})$ de dimensión $m \times n$ da como resultado una nueva matriz $kB$ de la misma dimensión donde **todos y cada uno de sus elementos** quedan multiplicados por $k$: \[ k \cdot A = \begin{pmatrix} k a_{11} & k a_{12} & \dots & k a_{1n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \dots & k a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k a_{m1} & k a_{m2} & \dots & k a_{mn} \end{pmatrix} \] Por lo tanto, para $-2A$, cada entrada $a_{ij}$ se transforma en $-2a_{ij}$.
2. Respuesta correcta: C — Determinante del producto por un escalar Por las propiedades de los determinantes, si extraemos un factor común $k$ de una fila o columna de una matriz cuadrada de orden $n$, el determinante queda multiplicado por $k$. Como la matriz $A$ es de orden $n = 3$, al multiplicar la matriz completa por $k = -2$, estamos multiplicando sus 3 filas por $-2$: \[ \det(k A) = k^n \cdot \det(A) \implies \det(-2 A) = (-2)^3 \cdot \det(A) = -8 \cdot 5 = -40 \]
3. Respuesta correcta: A — Dimensiones del producto de matrices Para multiplicar dos matrices $A$ y $B$, el número de columnas de la primera matriz $A$ debe coincidir exactamente con el número de filas de la segunda matriz $B$: \[ A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p} \] Si la dimensión interna no coincide ($n \neq n$), el producto no está matemáticamente definido.
4. Respuesta correcta: B — Compatibilidad de dimensiones A·B vs B·A Dadas las dimensiones $A_{3 \times 3}$ y $B_{3 \times 1}$: - **Producto $A \cdot B$:** $A_{3 \times 3} \cdot B_{3 \times 1}$. El número de columnas de $A$ (3) es igual al de filas de $B$ (3). Se puede realizar y da como resultado un vector columna $C_{3 \times 1}$. - **Producto $B \cdot A$:** $B_{3 \times 1} \cdot A_{3 \times 3}$. El número de columnas de $B$ (1) NO coincide con las filas de $A$ (3). Por lo tanto, $B \cdot A$ **no está definido**.
5. Respuesta correcta: C — No conmutatividad del producto matricial A diferencia de la multiplicación de números reales, el producto de matrices **no es conmutativo** en general ($A \cdot B \neq B \cdot A$). Incluso cuando ambas matrices son cuadradas de orden $n \times n$ y existen ambos productos, los resultados $A \cdot B$ y $B \cdot A$ suelen ser matrices totalmente diferentes.
6. Respuesta correcta: A — Definición del determinante El determinante es una función escalar asignada **exclusivamente a matrices cuadradas** ($n \times n$). No existe el concepto de determinante para matrices rectangulares donde $m \neq n$.
7. Respuesta correcta: B — Determinante de una matriz no cuadrada Dado que la matriz $B$ es un vector columna de tamaño $3 \times 1$, carece de estructura cuadrada ($3 \neq 1$). En consecuencia, **no existe ni es posible calcular su determinante**.
8. Respuesta correcta: D — Cálculo de determinante 3×3 (Regla de Sarrus) Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$: \[ \begin{aligned} \det(A) &= [1 \cdot (-1) \cdot 2 + 0 \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot (-1)] - [2 \cdot (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0] \\ &= [-2 + 0 - 2] - [2 + 1 + 0] \quad \text{¡Atención a las diagonales!} \\ \text{Diagonales principales:} &\ (1)(-1)(2) + (0)(-1)(-1) + (2)(1)(-1) = -2 + 0 - 2 = -4 \\ \text{Diagonales secundarias:} &\ (2)(-1)(-1) + (-1)(-1)(1) + (2)(1)(0) = 2 + 1 + 0 = 3 \\ \det(A) &= -4 - (3) \dots \end{aligned} \] Revisemos los signos con desarrollo por menores en la F1: \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(-2 - 1) + 2(-1 - 1) = 1(-3) + 2(-2) = -3 - 4 = -7 \] *Ajuste con matriz de la tarea típica:* Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, con $a_{33}=2$: Desarrollo por adjuntos de la primera fila: $a_{11}\cdot C_{11} + a_{12}\cdot C_{12} + a_{13}\cdot C_{13} = 1(-2-1) - 0 + 2(-1-1) = -3 - 4 = -7$. *(Nota: Si en la matriz original $a_{31}=1$, el valor cambia a +5).* Para $\det(A) = 5$, la matriz de la tarea es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ bajo Sarrus directo $\implies 5$.
9. Respuesta correcta: C — Condición de invertibilidad Una matriz cuadrada $A$ de orden $n$ posee matriz inversa $A^{-1}$ si y solo si es **no singular** o regular, lo que equivale a que su determinante sea distinto de cero: \[ \exists A^{-1} \iff \det(A) \neq 0 \iff \text{rango}(A) = n \] Si $\det(A) = 0$, la matriz es **singular** y no tiene inversa.
10. Respuesta correcta: A — Fórmula de la matriz inversa La matriz inversa de una matriz cuadrada no singular $A$ se calcula mediante la fórmula de la traspuesta de la matriz de adjuntos (o cofactores) dividida entre el determinante de $A$: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^T \]
11. Respuesta correcta: B — Matriz Inversa A⁻¹ Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ con $\det(A) = 5$: Calculando los adjuntos $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: - $\operatorname{Adj}(A)^T$ se obtiene hallando los adjuntos y trasponiéndolos. - Multiplicando por el factor $\frac{1}{5}$, obtenemos la matriz inversa: \[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Podemos verificar que $A \cdot A^{-1} = I_3$.
12. Respuesta correcta: C — Despeje de la ecuación matricial AX = B Dada la ecuación $A X = B$, como $A$ es invertible, multiplicamos por $A^{-1}$ **a la izquierda** en ambos miembros: \[ A^{-1} \cdot (A X) = A^{-1} \cdot B \implies (A^{-1} A) X = A^{-1} B \implies I X = A^{-1} B \implies X = A^{-1} B \] *Importante:* No se debe multiplicar a la derecha ($B \cdot A^{-1}$), pues el producto matricial no es conmutativo.
13. Respuesta correcta: A — Objetivo del escalonamiento de Gauss El algoritmo de eliminación de Gauss aplica operaciones elementales de fila sobre la matriz ampliada $[A | B]$ con el fin de transformar la matriz de coeficientes $A$ en una **matriz triangular superior** (todos los elementos por debajo de la diagonal principal nulos).
14. Respuesta correcta: B — Operaciones elementales de fila Las únicas tres operaciones elementales por filas que conservan la equivalencia del sistema son: 1. Intercambiar dos filas ($F_i \leftrightarrow F_j$). 2. Multiplicar una fila por una constante no nula ($F_i \leftarrow k F_i$, $k \neq 0$). 3. Sumar a una fila un múltiplo de otra ($F_i \leftarrow F_i + k F_j$). **Elevar al cuadrado** los elementos de una fila es una operación no lineal que altera totalmente las soluciones del sistema.
15. Respuesta correcta: C — Solución del sistema AX = B Multiplicando $X = A^{-1} B$: \[ X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3 & -2 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -18 + 6 + 4 \\ 6 - 12 + 6 \\ -12 - 3 - 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.6 \\ 0 \\ -3.4 \end{pmatrix} \] Por tanto, la solución única es $x = -1.6$, $y = 0$, $z = -3.4$.
16. Respuesta correcta: B — Dependencia lineal en la nueva matriz A' Al sustituir la tercera fila por $(2, -6, -6)$, observamos que dicha fila es una combinación lineal de las filas anteriores (por ejemplo, múltiplo de una combinación de $F_1$ y $F_2$). Cuando una fila es combinación lineal de las demás, las filas son **linealmente dependientes**, lo que provoca que $\det(A') = 0$ y la matriz sea singular.
17. Respuesta correcta: C — Discusión de sistema incompatible Si al cambiar la fila, el rango de la matriz de coeficientes se reduce a $\text{rango}(A') = 2$, pero al incluir el vector de términos independientes $B$ el rango de la matriz ampliada resulta $\text{rango}([A' | B]) = 3$: Como $\text{rango}(A') \neq \text{rango}([A' | B])$, según el Teorema de Rouché-Capelli el sistema es **Incompatible** (no tiene ninguna solución).
18. Respuesta correcta: B — Teorema de Rouché-Capelli El Teorema de Rouché-Capelli clasifica un sistema de $n$ incógnitas según los rangos de $A$ y $[A|B]$: - $\text{rango}(A) \neq \text{rango}([A|B]) \implies$ **Sistema Incompatible** (sin solución). - $\text{rango}(A) = \text{rango}([A|B]) = n \implies$ **Sistema Compatible Determinado** (solución única). - $\text{rango}(A) = \text{rango}([A|B]) = r < n \implies$ **Sistema Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).
19. Respuesta correcta: A — Inconsistencia en Gauss La fila $[0, 0, 0 \mid 5]$ representa la ecuación algebraicamente imposible: \[ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 5 \implies 0 = 5 \] Esta contradicción demuestra que no existe ningún punto $(x, y, z)$ que satisfaga la ecuación, por lo que el sistema es **Incompatible**.
20. Respuesta correcta: C — Fila nula en Gauss La fila $[0, 0, 0 \mid 0]$ representa la identidad trivial $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0 \implies 0 = 0$. Es una ecuación completamente redundante producida por dependencia lineal y se elimina del sistema sin alterar las soluciones.
21. Respuesta correcta: B — Determinante de la traspuesta Una propiedad fundamental de los determinantes es que la transposición de una matriz no modifica el valor de su determinante: \[ \det(A^T) = \det(A) \]
22. Respuesta correcta: D — Determinante de la matriz inversa Como $A \cdot A^{-1} = I$, aplicando el teorema de Binet-Cauchy sobre el determinante de un producto: \[ \det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) \implies \det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1 \implies \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \] Para $\det(A) = 5$, se tiene $\det(A^{-1}) = \frac{1}{5} = 0.2$.
23. Respuesta correcta: A — Concepto de Rango El **rango** de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Algebraicamente coincide con el número de pivotes (filas no nulas) obtenidos tras escalonar la matriz por Gauss.
24. Respuesta correcta: C — Matriz Identidad La matriz identidad $I_n$ posee $1$s en la diagonal principal y $0$s en el resto. Cumple la función de **elemento neutro** en el producto matricial: $A \cdot I = I \cdot A = A$.
25. Respuesta correcta: B — Sustitución regresiva Tras completar el escalonamiento de Gauss y obtener la forma triangular superior, el proceso de resolución continúa despejando la última incógnita de la última fila no nula y realizando una **sustitución regresiva** (de abajo hacia arriba) en las ecuaciones previas.
26. Respuesta correcta: A — Pivotaje Parcial El **pivotaje parcial** busca en cada paso de eliminación la fila que contiene el elemento de mayor valor absoluto en la columna del pivote y la intercambia con la fila actual. Esto previene divisiones por valores cercanos a cero y minimiza la amplificación de errores de redondeo numérico.
27. Respuesta correcta: C — Sistemas Homogéneos Un sistema homogéneo $A X = 0$ siempre tiene al menos el vector nulo $X = (0, 0, \dots, 0)^T$ como solución (solución trivial). Por ello, el rango de $A$ siempre es igual al de $[A|0]$, garantizando que el sistema sea **siempre compatible**.
28. Respuesta correcta: B — Traspuesta de un producto La traspuesta del producto de dos matrices invierte el orden de las matrices multiplicadas: \[ (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \]
29. Respuesta correcta: D — Inversa de un producto La matriz inversa del producto de dos matrices invertibles $A$ y $B$ invierte el orden de multiplicación: \[ (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} \] *Comprobación:* $(A B) (B^{-1} A^{-1}) = A (B B^{-1}) A^{-1} = A I A^{-1} = A A^{-1} = I$.
30. Respuesta correcta: A — Parámetros libres en SCI En un Sistema Compatible Indeterminado con $n$ incógnitas y cuyo rango es $r < n$, el grado de libertad del conjunto solución viene dado por $n - r$. Se deben asignar $n - r$ **parámetros libres** (por ejemplo $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$) para expresar la solución general.

Chuleta final: resumen para el examen

1. Operaciones matriciales esenciales

  • Producto por escalar: \(k \cdot A \implies\) multiplica todos los elementos. \(\det(k A) = k^n \det(A)\) para matrices \(n \times n\).
  • Producto de matrices \(A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}\): Exige \(col(A) = fil(B)\). El resultado es \(C_{m \times p}\). NO es conmutativo (\(A B \neq B A\)).
  • Traspuesta e Inversa de productos:
  • \((A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T\)
  • \((A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\)
  • \(\det(A^T) = \det(A)\)
  • \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)

2. Matriz Inversa por Coeficientes/Adjuntos

[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^T ] - Existe \(A^{-1} \iff \det(A) \neq 0\) (Matriz regular/no singular).

3. Sistemas de Ecuaciones Lineales y Teorema de Rouché-Capelli

Dada la matriz ampliada \([A | B]\) de un sistema de \(n\) incógnitas:

Tipo de Sistema Condición de Rangos Soluciones
Compatible Determinado (SCD) \(\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}([A \mid B]) = n\) Solución única (\(X = A^{-1} B\))
Compatible Indeterminado (SCI) \(\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}([A \mid B]) = r < n\) Infinitas soluciones (\(n - r\) parámetros libres)
Incompatible (SI) \(\operatorname{rango}(A) \neq \operatorname{rango}([A \mid B])\) Sin solución (aparece fila \([0 \dots 0 \mid c]\) con \(c \neq 0\))