Test Tema 7: Conjuntos y funciones¶

Este test está basado en las 15 preguntas del cuestionario del tema. Tiene una sola respuesta correcta por pregunta. Selecciona tus respuestas y pulsa Comprobar respuestas para conocer tu nota, ver la explicación rápida de cada pregunta y consultar al final las soluciones explicadas paso a paso.

Cómo estudiar

Haz primero el test sin mirar las soluciones. Al corregirlo, lee la explicación rápida de cada pregunta y, si necesitas profundizar, despliega la explicación detallada paso a paso al final de la página.

Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta¶

1. Respuesta correcta: B — Definición de conjunto de Cantor

Según Georg Cantor, un **conjunto** es *"una colección bien definida de objetos bien distinguidos de nuestra percepción o pensamiento en un todo"*. - **Sin orden:** El orden de los elementos no altera el conjunto. $\{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\}$. - **Sin duplicados:** Los elementos repetidos no aportan elementos adicionales. $\{a, a, b\} = \{a, b\}$. - **Finitos o infinitos:** Puede contener un número limitado o ilimitado de elementos.

2. Respuesta correcta: D — Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto es **finito** si su cardinalidad (número de elementos) es un número natural $n \in \mathbb{N}$. - El conjunto de los días de la semana contiene exactamente 7 elementos: $\{\text{Lunes}, \text{Martes}, \dots, \text{Domingo}\}$. - Los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$ (naturales), $\mathbb{Z}$ (enteros) y $\mathbb{R}$ (reales) son conjuntos **infinitos** (denumerables o no denumerables).

3. Respuesta correcta: B — Producto cartesiano A × B

El **producto cartesiano** entre los conjuntos $A$ y $B$ (denotado $A \times B$) es el conjunto de todos los **pares ordenados**: \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\} \] - El orden del par es estricto: la primera componente proviene del primer conjunto $A$ y la segunda componente del conjunto $B$. - Si el cardinal de $A$ es $|A| = m$ y el de $B$ es $|B| = n$, el cardinal de $A \times B$ es $|A \times B| = m \cdot n$.

4. Respuesta correcta: C — Representación con diagramas de Venn

Los **diagramas de Venn** son ilustraciones gráficas utilizadas en la teoría de conjuntos para visualizar relaciones lógicas: - El conjunto universo $U$ se representa mediante un rectángulo delimitador. - Los conjuntos individuales se dibujan como regiones cerradas (círculos o elipses). - Permite identificar fácilmente las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento.

5. Respuesta correcta: B — Intersección de conjuntos A ∩ B

La **intersección** $A \cap B$ es el conjunto formado exclusivamente por aquellos elementos compartidos por todos los conjuntos involucrados: \[ A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\} \] En un diagrama de Venn, representa la zona central superpuesta donde se solapan los círculos de los conjuntos.

6. Respuesta correcta: B — Subconjuntos e inclusión A ⊆ B

$A$ es un **subconjunto** de $B$ ($A \subseteq B$) si todo elemento perteneciente a $A$ es también un elemento de $B$: \[ A \subseteq B \iff (\forall x \in A \implies x \in B) \] - Si $A \subseteq B$ pero existe algún elemento en $B$ que no está en $A$, se dice que $A$ es un **subconjunto propio** ($A \subset B$). - Todo conjunto es subconjunto de sí mismo ($A \subseteq A$) y el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto ($\emptyset \subseteq A$).

7. Respuesta correcta: B — Conjunto de las partes P(A)

El **conjunto de las partes** (o conjunto potencia) $\mathcal{P}(A)$ o $2^A$ es el conjunto formado por **todos los subconjuntos posibles** de $A$: \[ \mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\} \] *Ejemplo:* Si $A = \{1, 2\}$, entonces $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$. Nota: Siempre incluye al conjunto vacío $\emptyset$ y al propio conjunto $A$.

8. Respuesta correcta: D — Cardinalidad del conjunto potencia 2ⁿ

Si un conjunto finito $A$ tiene $|A| = n$ elementos, la cantidad de elementos en su conjunto de las partes es: \[ |\mathcal{P}(A)| = 2^n \] **Explicación combinatoria:** Para construir cualquier subconjunto de $A$, para cada uno de los $n$ elementos tenemos exactamente 2 decisiones independientes: incluirlo o no incluirlo. Multiplicando 2 por sí mismo $n$ veces obtenemos $2^n$.

9. Respuesta correcta: D — Unión de conjuntos A ∪ B

La **unión** $A \cup B$ reúne todos los elementos que forman parte de $A$, de $B$ o de ambos: \[ A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\} \] En lógica y teoría de conjuntos, el operador "o" ($\lor$) es inclusivo.

10. Respuesta correcta: B — Complemento Aᶜ

El **complemento** de un conjunto $A$ respecto a un universo $U$ (denotado $A^c$, $\bar{A}$ o $U \setminus A$) comprende los elementos del universo que no pertenecen a $A$: \[ A^c = \{x \in U \mid x \notin A\} \] Propiedades asociadas: $A \cup A^c = U$ y $A \cap A^c = \emptyset$.

11. Respuesta correcta: B — Definición de función

Una **función** $f$ de un conjunto $A$ (dominio) a un conjunto $B$ (codominio), denotada $f: A \to B$, es una relación especial que asigna a **cada** elemento $x \in A$ **un único** elemento $y \in B$. - Todo elemento del dominio debe tener asignada una salida. - Ningún elemento del dominio puede tener asignadas dos o más salidas diferentes.

12. Respuesta correcta: C — Función inyectiva (uno a uno)

Una función $f: A \to B$ es **inyectiva** (o uno a uno) si elementos distintos del dominio se transforman en elementos distintos del codominio: \[ f(a) = f(b) \implies a = b \quad \text{o equivalentemente} \quad a \neq b \implies f(a) \neq f(b) \] Geométricamente, significa que cada elemento del codominio $B$ recibe como máximo una flecha o preimagen.

13. Respuesta correcta: B — Dominio vs Codominio vs Imagen

En una función $f: A \to B$: - **Dominio ($A$):** Conjunto de elementos de entrada sobre los que la función está totalmente definida. - **Codominio ($B$):** Conjunto global de llegada donde están declaradas las posibles salidas. - **Imagen o Recorrido ($\text{Im}(f)$):** Subconjunto real del codominio formado por los elementos efectivamente alcanzados: $\text{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B$.

14. Respuesta correcta: A — Función biyectiva

Una función $f: A \to B$ es **biyectiva** si cumple simultáneamente dos condiciones: 1. Es **inyectiva** (no repite imágenes). 2. Es **suprayectiva** ($\text{Im}(f) = B$, todo el codominio es alcanzado). **Propiedad fundamental:** Una función admite inversa $f^{-1}: B \to A$ si y solo si es biyectiva.

15. Respuesta correcta: B — Composición de funciones

Dadas dos funciones $f: A \to B$ y $g: B \to C$, la **composición** $g \circ f: A \to C$ consiste en evaluar la función $g$ sobre el resultado producido por $f$: \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \] **Orden de evaluación:** Se aplica primero la función más cercana a la variable (en este caso $f$), y el valor obtenido se procesa posteriormente mediante $g$.

Chuleta final: lo imprescindible para aprobar¶

1. Conceptos y operaciones de conjuntos¶

Conjunto: Colección desordenada de elementos bien definidos.
Producto Cartesiano: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$.
Unión ($A \cup B$): $x \in A$ o $x \in B$.
Intersección ($A \cap B$): $x \in A$ y $x \in B$.
Complemento ($A^c$): Elementos del universo $U$ que no están en $A$.
Conjunto de las Partes ($\mathcal{P}(A)$): Colección de todos los subconjuntos. Si $|A| = n \implies |\mathcal{P}(A)| = 2^n$.

2. Clasificación de funciones f: A → B¶

Función: Cada $x \in A$ se relaciona con un único $y \in B$.
Inyectiva (Uno a Uno): $f(a) = f(b) \implies a = b$. (Ninguna imagen se repite).
Suprayectiva (Sobre): La Imagen es igual al Codominio ($\text{Im}(f) = B$). (No quedan elementos sueltos en $B$).
Biyectiva: Inyectiva y Suprayectiva a la vez. Admite función inversa $f^{-1}$.

3. Composición de funciones¶

Fórmula: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
Evaluación: Se evalúa de derecha a izquierda (primero $f$, luego $g$).