Test Tarea 1.2: Operaciones Matriciales y Resolución de Sistemas Lineales

Este segundo test consta de 30 preguntas teóricas y prácticas completamente nuevas y diferenciadas, basadas en el contenido, las pautas y las competencias de la tarea académica sobre operaciones con matrices, determinantes, matriz inversa y el método de eliminación de Gauss.

Puntuación y Criterios de Examen

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1. ¿Bajo qué condición es posible realizar la suma o resta de dos matrices A y B?

A. Únicamente si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. B. Si ambas matrices son cuadradas, aunque tengan distinto orden. C. Si ambas matrices poseen exactamente la misma dimensión (mismo número de filas y columnas). D. Si los determinantes de ambas matrices son distintos de cero.

2. Si la matriz A tiene elementos en la diagonal principal (1, -1, 2), ¿cuál es la traza de la matriz -2A?

A. -2 B. -4 C. 4 D. -8

3. En el producto A·B de una matriz A (3×3) por un vector columna B (3×1), ¿cómo se obtiene el primer elemento c₁₁ del resultado?

A. Multiplicando la primera fila de A por la única columna de B (producto escalar). B. Multiplicando la primera columna de A por el primer elemento de B. C. Sumando los elementos de la diagonal principal de A con los elementos de B. D. Multiplicando cada elemento a_ij por b_i.

4. ¿Qué incompatibilidad dimensional impide calcular B·A cuando B es de dimensión 3×1 y A es 3×3?

A. Que B no es una matriz cuadrada. B. Que el determinante de A es positivo. C. Que B no tiene matriz inversa. D. Que el número de columnas de B (1) es distinto del número de filas de A (3).

5. Si B es un vector columna de dimensión 3×1 y Bᵀ es su traspuesta (1×3), ¿qué tipo de matriz resulta de la operación Bᵀ · B?

A. Una matriz nula de dimensión 3×3. B. Un escalar o matriz de dimensión 1×1 igual a la suma de los cuadrados de los elementos de B. C. Una matriz identidad de orden 3×3. D. No se puede calcular esa multiplicación.

6. Siguiendo el caso anterior, si calculamos B · Bᵀ donde B es 3×1 y Bᵀ es 1×3, ¿cuál es la dimensión del resultado?

A. Una matriz cuadrada de dimensión 3×3. B. Un escalar (1×1). C. Un vector columna 3×1. D. No está definido.

7. ¿Qué ocurre con el determinante de una matriz cuadrada de orden 3×3 si todos los elementos de una de sus filas son cero?

A. El determinante se vuelve negativo. B. El determinante es igual a 1. C. El determinante es obligatoriamente igual a 0. D. No afecta al resultado del determinante.

8. Si intercambiamos la posición de dos filas en una matriz cuadrada A de determinante det(A) = 5, ¿cuál es el determinante de la nueva matriz A'?

A. -5 B. 5 C. 1/5 D. 0

9. Si a la tercera fila de la matriz A le sumamos el doble de la primera fila (F₃ ← F₃ + 2F₁), ¿cómo cambia el determinante de la matriz resultante?

A. El determinante se duplica. B. El determinante se mantiene exactamente igual (no cambia). C. El determinante se vuelve cero. D. El determinante cambia de signo.

10. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz triangular de orden 3×3?

A. Sumando los elementos de la primera fila. B. Mediante la regla de Sarrus extendida a 6 términos independientes. C. Restando los elementos de la diagonal secundaria de la principal. D. Multiplicando únicamente los elementos que forman su diagonal principal.

11. ¿Qué es el menor complementario Mᵢⱼ asociado al elemento aᵢⱼ de una matriz A de 3×3?

A. El determinante de la submatriz de orden 2×2 que resulta al eliminar la fila i y la columna j. B. El valor a_ij multiplicado por (-1)^(i+j). C. La resta de los elementos de la fila i y la columna j. D. El elemento de la diagonal principal correspondiente.

12. ¿Cuál es el signo de la potencia (-1)ⁱ⁺ʲ asociado al adjunto del elemento a₁₂ de una matriz?

A. Positivo (+1) B. Cero (0) C. Negativo (-1) D. Depende del valor de a₁₂.

13. Al calcular la matriz inversa mediante el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada [A | I], ¿qué se obtiene al finalizar el escalonamiento completo?

A. [0 | A] B. [I | A⁻¹] C. [A⁻¹ | I] D. [I | det(A)]

14. ¿A qué es igual la matriz inversa de la inversa (A⁻¹)⁻¹?

A. A la matriz original A. B. A la matriz identidad I. C. A la matriz traspuesta Aᵀ. D. A 1 / A.

15. Si la ecuación matricial plantea X · A = B con A invertible, ¿cómo se despeja correctamente la matriz X?

A. X = A⁻¹ · B B. X = B / A C. X = B · A⁻¹ D. X = A · B⁻¹

16. ¿Qué es la matriz ampliada o aumentada [A | B] asociada al sistema AX = B?

A. La matriz de coeficientes A duplicada en el número de filas. B. La matriz que combina la matriz de coeficientes A y la columna de términos independientes B. C. El producto matricial de A por la traspuesta de B. D. La suma de las matrices A y B.

17. Durante el método de eliminación de Gauss, ¿qué función cumple un 'pivote'?

A. Es el resultado del determinante de la matriz ampliada. B. Es la constante por la que se multiplican todos los términos independientes. C. Es una fila completa de ceros que se elimina del sistema. D. Es el elemento no nulo de la diagonal que se utiliza para hacer ceros por debajo de él mediante operaciones elementales.

18. ¿Qué operación se debe realizar en la eliminación de Gauss si el elemento pivote en la posición diagonal actual es cero?

A. Intercambiar la fila actual con una fila inferior que tenga un elemento no nulo en esa misma columna. B. Detener el proceso y declarar que el sistema es imposible de resolver. C. Sumar 1 a toda la fila para eliminar el cero. D. Dividir toda la fila entre cero.

19. Al verificar la solución X = (x, y, z)ᵀ en el sistema AX = B, ¿qué significa que al sustituir los valores se cumplan todas las ecuaciones del sistema original?

A. Que el determinante del sistema es cero. B. Que se debe realizar una segunda comprobación por la regla de Cramer. C. Que la solución calculada es matemáticamente correcta y satisface las restricciones planteadas. D. Que el sistema admite infinitas soluciones adicionales.

20. En la modificación propuesta en la tarea (cambiar la fila 3 de A por el vector (2, -6, -6)), ¿es posible calcular la matriz inversa de la nueva matriz A'?

A. Sí, porque sigue siendo una matriz cuadrada de orden 3×3. B. No, porque su determinante pasa a ser cero (det(A') = 0) y por lo tanto es una matriz singular. C. Sí, aplicando el método de Gauss de forma directa. D. No, porque la matriz B no cambia de dimensiones.

21. ¿Cuántas soluciones tiene un Sistema Compatible Indeterminado (SCI)?

A. Cero soluciones. B. Exactamente una solución única. C. Tantas soluciones como número de filas tenga la matriz. D. Infinitas soluciones.

22. ¿Qué caracteriza a un Sistema Incompatible (SI)?

A. Que no admite ninguna solución (conjunto solución vacío). B. Que tiene exactamente una solución no nula. C. Que tiene infinitas soluciones complejas. D. Que sus ecuaciones son todas numéricamente idénticas.

23. ¿Cuándo es aplicable la Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones AX = B?

A. Para cualquier sistema, incluso si tiene más ecuaciones que incógnitas. B. Únicamente cuando det(A) = 0. C. Cuando el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y det(A) ≠ 0. D. Cuando la matriz de términos independientes B es la matriz nula.

24. En la Regla de Cramer, ¿cómo se obtiene la matriz A_i empleada para calcular la incógnita x_i?

A. Eliminando la fila i y la columna i de la matriz A. B. Sustituyendo la columna i de la matriz A por la columna de términos independientes B. C. Multiplicando la matriz A por el elemento b_i. D. Sumando la columna B a todas las columnas de A.

25. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre una matriz diagonal D de orden 3×3?

A. Es siempre una matriz simétrica (D = Dᵀ). B. Su determinante siempre vale 1. C. Nunca admite matriz inversa. D. No se puede multiplicar por un vector columna.

26. Si D es una matriz diagonal invertible de orden 3×3 con elementos (2, -1, 5) en su diagonal principal, ¿cuáles son los elementos de la diagonal de D⁻¹?

A. (-2, 1, -5) B. (4, 1, 25) C. (2, -1, 5) D. (1/2, -1, 1/5)

27. ¿Qué propiedad define a una matriz cuadrada A como simétrica?

A. A · A = I B. A = Aᵀ (coincide con su matriz traspuesta). C. A = -Aᵀ D. det(A) = 1

28. ¿Qué condición deben cumplir los elementos de la diagonal principal en una matriz antisimétrica (Aᵀ = -A)?

A. Todos deben ser iguales a 1. B. Deben ser números primos positivos. C. Todos deben ser estrictamente iguales a cero (0). D. Sumados deben dar el determinante de la matriz.

29. En ciencias de la computación e ingeniería, ¿cuál es el coste computacional del algoritmo de eliminación de Gauss para un sistema n×n?

A. O(n³) operaciones aritméticas. B. O(n) operaciones aritméticas. C. O(n!) D. O(2ⁿ)

30. De acuerdo con los criterios de evaluación de la actividad, ¿qué porcentaje de la nota final representa la adecuada presentación del documento (formato, claridad y justificación)?

A. 5% B. 20% (distribuido equitativamente con el resto de criterios prácticos). C. 50% D. No se evalúa el formato, solo las operaciones numéricas.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: C — Dimensión en la suma matricial

La suma y la resta de matrices son operaciones que se definen **componente a componente**: \[ C_{m \times n} = A_{m \times n} + B_{m \times n} \iff c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \] Para que esto sea posible, ambas matrices deben compartir **estrictamente la misma dimensión** ($m \times n$). Si tienen dimensiones distintas, la operación no se puede realizar.

2. Respuesta correcta: B — Traza del producto por escalar

La **traza** de una matriz cuadrada $\operatorname{tr}(A)$ es la suma de los elementos de su diagonal principal: \[ \operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 2 = 2 \] Por la propiedad de linealidad de la traza, $\operatorname{tr}(k A) = k \cdot \operatorname{tr}(A)$. Por tanto, para $k = -2$: \[ \operatorname{tr}(-2 A) = -2 \cdot \operatorname{tr}(A) = -2 \cdot (2) = -4 \]

3. Respuesta correcta: A — Cálculo del elemento c₁₁ en A·B

Por definición de producto matricial $C = A \cdot B$: \[ c_{i j} = \sum_{k=1}^n a_{i k} b_{k j} \] Para el primer elemento $c_{11}$ de la matriz resultante $C_{3 \times 1}$, se calcula el producto escalar de la **fila 1 de A** por la **columna 1 de B**: \[ c_{11} = a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3 \]

4. Respuesta correcta: D — Incompatibilidad en B·A

Para multiplicar dos matrices $M \cdot N$, la cantidad de columnas de $M$ debe ser igual a la cantidad de filas de $N$. - Matriz $B$: dimensión $3 \times 1$ (1 columna). - Matriz $A$: dimensión $3 \times 3$ (3 filas). Como $1 \neq 3$, el producto $B \cdot A$ **no está definido**.

5. Respuesta correcta: B — Producto Bᵀ · B (Producto Escalar)

Si $B$ es un vector columna $3 \times 1$: - $B^T$ es de dimensión $1 \times 3$. - El producto $B^T \cdot B$ tiene dimensión $(1 \times 3) \cdot (3 \times 1) = 1 \times 1$ (un escalar). Algebraicamente: \[ B^T \cdot B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \] Representa el cuadrado de la norma euclídea del vector $\|B\|^2$.

6. Respuesta correcta: A — Producto B · Bᵀ (Producto Exterior)

Si $B$ es $3 \times 1$ y $B^T$ es $1 \times 3$, el producto $B \cdot B^T$ tiene dimensión $(3 \times 1) \cdot (1 \times 3) = 3 \times 3$. Da como resultado una **matriz cuadrada de orden 3×3** que además es simétrica, cuyo rango es 1 si $B \neq 0$.

7. Respuesta correcta: C — Fila nula y determinante

Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) formada íntegramente por ceros, al desarrollar el determinante por los adjuntos de esa fila/columna, todos los términos se multiplican por cero: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n 0 \cdot C_{i j} = 0 \]

8. Respuesta correcta: A — Intercambio de filas en determinantes

Una de las propiedades fundamentales de las funciones multilineales alternadas (determinantes) establece que si se **intercambian dos filas o columnas** de una matriz $A$, el valor absoluto del determinante permanece, pero su **signo se invierte**: \[ \det(A') = -\det(A) \implies \det(A') = -5 \]

9. Respuesta correcta: B — Operación de sustitución en determinantes

Sumar a una fila un múltiplo escalar de otra fila ($F_i \leftarrow F_i + k F_j$ con $i \neq j$) es una transformación elemental que **mantiene invariante** el determinante de la matriz. Por ello, el determinante sigue valiendo exactamente 5.

10. Respuesta correcta: D — Determinante de matriz triangular

En una matriz triangular superior o inferior $T = (t_{ij})$, todos los elementos por debajo o por encima de la diagonal son cero. Al desarrollar por menores sucesivamente, todos los términos fuera de la diagonal se anulan, resultando: \[ \det(T) = t_{11} \cdot t_{22} \cdot t_{33} \cdots t_{nn} \]

11. Respuesta correcta: A — Menor complementario

El **menor complementario** $M_{ij}$ de un elemento $a_{ij}$ en una matriz de $3 \times 3$ es el determinante de la matriz de tamaño $2 \times 2$ que queda al eliminar la fila $i$ y la columna $j$ en las que se ubica dicho elemento.

12. Respuesta correcta: C — Signo del adjunto

El adjunto o cofactor de $a_{ij}$ viene dado por $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. Para el elemento $a_{12}$: $i=1$, $j=2$, luego $i+j = 3$. \[ (-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1 \] El signo asociado es negativo (-).

13. Respuesta correcta: B — Método de Gauss-Jordan para la Inversa

El método de Gauss-Jordan dispone la matriz cuadrada $A$ junto a la matriz identidad $I$ en el esquema $[A \mid I_n]$. Aplicando operaciones elementales por filas para transformar $A$ en la matriz identidad $I_n$, la matriz del lado derecho se transforma automáticamente en la matriz inversa $A^{-1}$: \[ [A \mid I_n] \xrightarrow{\text{Operaciones por filas}} [I_n \mid A^{-1}] \]

14. Respuesta correcta: A — Involución de la matriz inversa

Por definición, $A^{-1}$ es la matriz que satisface $A \cdot A^{-1} = I$. Si aplicamos la definición de inversa sobre $A^{-1}$, la matriz que al multiplicarla por $A^{-1}$ produce la identidad es la propia matriz original $A$. Por tanto: \[ (A^{-1})^{-1} = A \]

15. Respuesta correcta: C — Despeje a la derecha X·A = B

En la ecuación matricial $X \cdot A = B$, la incógnita $X$ está multiplicada a la derecha por $A$. Para despejar $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ **por la derecha** en ambos lados de la igualdad: \[ (X A) A^{-1} = B A^{-1} \implies X (A A^{-1}) = B A^{-1} \implies X I = B A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1} \]

16. Respuesta correcta: B — Concepto de Matriz Ampliada

Para un sistema de ecuaciones lineales $A X = B$ de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas, la **matriz ampliada** $[A \mid B]$ se forma añadiendo el vector columna $B$ ($m \times 1$) como la columna número $n+1$ de la matriz $A$ ($m \times n$). Tiene dimensión $m \times (n+1)$.

17. Respuesta correcta: D — Concepto de Pivote en Gauss

Un **pivote** en la eliminación de Gauss es el primer elemento no nulo de una fila que se utiliza para generar ceros en los elementos situados en su misma columna por debajo de él, aplicando sustituciones de fila $F_i \leftarrow F_i - m_{ik} F_k$.

18. Respuesta correcta: A — Gestión de pivotes nulos

Si durante el escalonamiento el elemento diagonal $a_{kk}$ es cero, el algoritmo no puede realizar la división para calcular los multiplicadores. La regla exige buscar una fila $p > k$ con $a_{pk} \neq 0$ e **intercambiar la fila $k$ con la fila $p$** ($F_k \leftrightarrow F_p$).

19. Respuesta correcta: C — Comprobación del vector solución

Sustituir el vector $(x, y, z)^T$ hallado en las ecuaciones originales $AX = B$ e idénticamente verificar que se cumplen todas las igualdades confirma de forma estricta que los cálculos algebraicos y el método de resolución se realizaron de forma correcta.

20. Respuesta correcta: B — Singularidad tras la modificación de la fila 3

En la tarea, al sustituir la fila 3 de $A$ por $(2, -6, -6)$, la nueva matriz $A'$ pasa a ser una matriz linealmente dependiente cuyo determinante es cero ($\det(A') = 0$). Como la existencia de la matriz inversa requiere $\det(A) \neq 0$, la matriz $A'$ es **singular y no admite matriz inversa**.

21. Respuesta correcta: D — Infinitud de soluciones en SCI

Por definición del Teorema de Rouché-Capelli, cuando $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}([A|B]) = r < n$ (donde $n$ es el número de incógnitas), existen variables libres que pueden tomar cualquier valor real $\lambda \in \mathbb{R}$. Esto genera un conjunto solución de **infinitos puntos** (línea, plano o hiperplano).

22. Respuesta correcta: A — Sistema Incompatible

Un **Sistema Incompatible** (SI) es aquel donde las ecuaciones imponen condiciones contradictorias (por ejemplo, $0x + 0y + 0z = 5$). Por tanto, **no existe ninguna solución** o combinación de valores que satisfaga el sistema.

23. Respuesta correcta: C — Condiciones de aplicación de Cramer

La Regla de Cramer exige dos condiciones indispensables: 1. Que el sistema sea cuadrado ($n$ ecuaciones con $n$ incógnitas). 2. Que la matriz de coeficientes $A$ sea regular ($\det(A) \neq 0$), garantizando un Sistema Compatible Determinado.

24. Respuesta correcta: B — Construcción de submatrices en Cramer

La Regla de Cramer determina el valor de la incógnita $x_i$ mediante el cociente: \[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \] donde $A_i$ es la matriz que resulta de sustituir la **columna $i$** de la matriz $A$ por los componentes del vector de términos independientes $B$.

25. Respuesta correcta: A — Simetría de matrices diagonales

Una matriz diagonal $D = (d_{ij})$ satisface $d_{ij} = 0$ para todo $i \neq j$. Al calcular su traspuesta $D^T$, las entradas fuera de la diagonal siguen siendo cero y los elementos de la diagonal no cambian de posición. En consecuencia, $D^T = D$, demostrando que **toda matriz diagonal es simétrica**.

26. Respuesta correcta: D — Inversa de una matriz diagonal

Para una matriz diagonal $D = \operatorname{diag}(d_{11}, d_{22}, d_{33})$, su matriz inversa $D^{-1}$ se obtiene calculando directamente el recíproco de cada entrada diagonal: \[ D^{-1} = \operatorname{diag}\left(\frac{1}{d_{11}}, \frac{1}{d_{22}}, \frac{1}{d_{33}}\right) \] Para $d = (2, -1, 5)$, su inversa tiene en la diagonal $(\frac{1}{2}, -1, \frac{1}{5})$.

27. Respuesta correcta: B — Definición de Matriz Simétrica

Una matriz cuadrada $A$ de dimensión $n \times n$ es **simétrica** si coincide exactamente con su traspuesta $A^T$: \[ A = A^T \iff a_{ij} = a_{ji} \quad \forall i, j \in \{1, \dots, n\} \]

28. Respuesta correcta: C — Diagonal de matrices antisimétricas

Una matriz es **antisimétrica** si $A^T = -A$, lo que implica $a_{ij} = -a_{ji}$. Para los elementos de la diagonal principal ($i = j$): \[ a_{ii} = -a_{ii} \implies 2 a_{ii} = 0 \implies a_{ii} = 0 \] Por lo tanto, todos los elementos de la diagonal principal deben ser **estrictamente iguales a cero**.

29. Respuesta correcta: A — Complejidad algorítmica de Gauss

El método de eliminación de Gauss realiza en el escalonamiento hacia adelante aproximadamente $\frac{2}{3}n^3$ operaciones de punto flotante (multiplicaciones y restas). Por consiguiente, su complejidad asintótica se clasifica como de orden polinómico **$\mathcal{O}(n^3)$**.

30. Respuesta correcta: B — Ponderación del criterio de presentación

En la rúbrica oficial de la actividad, la evaluación se divide en 5 criterios con un **peso del 20% cada uno** (100% total). El Criterio 5 asigna exactamente un 20% a la presentación del documento, extensión adecuada, claridad en la redacción y orden formal de los cálculos.

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Chuleta final: conceptos avanzados para el examen

1. Tipos de Matrices Cuadradas Especiales

• Diagonal: \(a_{ij} = 0\) para todo \(i \neq j\). \(D^{-1} = \operatorname{diag}(1/d_{ii})\).
• Triangular: \(a_{ij} = 0\) por debajo (\(i > j\), superior) o por encima (\(i < j\), inferior) de la diagonal. \(\det(T) = \prod t_{ii}\).
• Simétrica: \(A = A^T \iff a_{ij} = a_{ji}\).
• Antisimétrica: \(A^T = -A \iff a_{ij} = -a_{ji}\) (diagonal obligatoriamente nula: \(a_{ii} = 0\)).
• Ortogonal: \(A^T = A^{-1} \iff A \cdot A^T = I\). \(\det(A) = \pm 1\).

2. Despeje de Ecuaciones Matriciales

Dadas \(A, B\) conocidas y \(X\) incógnita (asumiendo matrices no singulares):

Ecuación	Operación de Despeje	Solución
\(A \cdot X = B\)	Multiplicar por \(A^{-1}\) a la izquierda	\(X = A^{-1} \cdot B\)
\(X \cdot A = B\)	Multiplicar por \(A^{-1}\) a la derecha	\(X = B \cdot A^{-1}\)
\(A \cdot X \cdot B = C\)	Multiplicar por \(A^{-1}\) (izq) y \(B^{-1}\) (der)	\(X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}\)

3. Regla de Cramer (Sistemas SCD \(n \times n\))

[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} ] donde \(A_i\) es la matriz que resulta de reemplazar la columna \(i\)-ésima de \(A\) por el vector de términos independientes \(B\).