Test Tema 8: Relaciones y matrices booleanas

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1. ¿Cuál es el producto cartesiano de dos conjuntos A y B?

A. El conjunto de todos los elementos que están en A o en B. B. El conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. C. El conjunto de todos los elementos que están en A y en B. D. El conjunto de todos los pares ordenados (a, a) donde a ∈ A.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera acerca del dominio de una relación?

A. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los segundos elementos en los pares ordenados de R. B. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los pares ordenados de R. C. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos en los pares ordenados de R. D. El dominio de una relación R es el conjunto de todos los elementos que están en R.

3. ¿Qué es una matriz booleana?

A. Una matriz en la que todos los elementos son números reales. B. Una matriz en la que todos los elementos son 0 o 1. C. Una matriz en la que todos los elementos son números enteros positivos. D. Una matriz en la que todos los elementos son números complejos.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el producto booleano de dos matrices booleanas A y B?

A. Cada elemento se obtiene sumando los productos correspondientes de A y B. B. Cada elemento se obtiene tomando el máximo de los productos correspondientes de A y B. C. Cada elemento se obtiene tomando el mínimo de los productos correspondientes de A y B. D. Cada elemento se obtiene tomando el OR lógico de los productos correspondientes de A y B.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una relación representada por una matriz booleana M?

A. Si Mᵢⱼ = 1, entonces no existe relación entre los elementos i y j. B. Si Mᵢⱼ = 0, entonces existe relación entre los elementos i y j. C. Si Mᵢⱼ = 1, entonces existe relación entre los elementos i y j. D. Si Mᵢⱼ = 0, entonces los elementos i y j son iguales.

6. ¿Cuál es una propiedad clave de una matriz booleana cuadrada que representa una relación reflexiva?

A. Todos los elementos en la diagonal principal son 0. B. Todos los elementos en la diagonal principal son 1. C. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. D. Todos los elementos fuera de la diagonal principal son 1.

7. ¿Qué describe el cierre transitivo de una relación representada por una matriz booleana?

A. Una matriz que solo tiene unos en la diagonal principal. B. Una matriz que muestra la relación original más las relaciones adicionales necesarias para hacerla transitiva. C. Una matriz donde todos los elementos son unos. D. Una matriz donde todos los elementos son ceros.

8. ¿Cuál de las siguientes propiedades es necesaria para que una relación sea de equivalencia?

A. Reflexividad. B. Asimetría. C. Antisimetría. D. Ninguna de las anteriores.

9. ¿Qué se entiende por el cierre reflexivo de una relación R?

A. El conjunto de todos los pares ordenados en R. B. La relación original R más los pares (a,a) para cada elemento a del conjunto de referencia. C. El conjunto de todos los segundos elementos en los pares ordenados de R. D. El conjunto de todos los primeros elementos en los pares ordenados de R.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente la composición de dos relaciones R y S?

A. Los pares (a,c) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún b. B. Los pares (a,b) tales que (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ S. C. Los pares (b,c) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún a. D. Los pares (b,a) tales que (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S para algún a.

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente una relación reflexiva?

A. Cada elemento está relacionado con al menos otro elemento distinto. B. Cada par de elementos distintos están relacionados en ambas direcciones. C. Cada elemento está relacionado consigo mismo. D. No existen pares de elementos relacionados.

12. ¿Cuál de las siguientes propiedades describe una relación simétrica?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. C. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto. D. Si (a,b) ∈ R y (a,c) ∈ R, entonces b = c.

13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para una relación antisimétrica?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R, entonces a = b. C. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. D. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto.

14. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe una relación transitiva?

A. Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R. B. Si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R. C. Si (a,a) ∈ R para todo a del conjunto. D. Si (a,b) ∈ R y (a,c) ∈ R, entonces b = c.

15. ¿Cuál de las siguientes propiedades no es necesaria para que una relación sea de equivalencia?

A. Reflexividad. B. Simetría. C. Transitividad. D. Antisimetría.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Definición de Producto Cartesiano

El **producto cartesiano** entre dos conjuntos $A$ y $B$ (escrito $A \times B$) es el conjunto constituido por todos los pares ordenados posibles tomando el primer elemento de $A$ y el segundo de $B$: \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\} \] - Si $A$ tiene $m$ elementos y $B$ tiene $n$ elementos, la cantidad de elementos de $A \times B$ es $m \cdot n$. - Es una estructura ordenada: $(a, b) \neq (b, a)$ salvo si $a = b$.

2. Respuesta correcta: C — Dominio de una relación

Dada una relación binaria $R \subseteq A \times B$: - **Dominio ($\text{Dom}(R)$):** Es el subconjunto de $A$ formado por todos los elementos que aparecen como **primera componente** en algún par ordenado de $R$: \[ \text{Dom}(R) = \{a \in A \mid \exists b \in B, (a, b) \in R\} \] - **Imagen / Rango ($\text{Im}(R)$):** Es el subconjunto de $B$ formado por todos los elementos que aparecen como **segunda componente**: \[ \text{Im}(R) = \{b \in B \mid \exists a \in A, (a, b) \in R\} \]

3. Respuesta correcta: B — Matriz Booleana

Una **matriz booleana** (o matriz binaria/cero-uno) es una matriz rectangular de $m \times n$ cuyas entradas sólo toman valores del álgebra de Boole: \[ M_{ij} \in \{0, 1\} \] Se utiliza computacionalmente para representar grafos dirigidos y relaciones binarias finitas, donde $1$ codifica la presencia de una relación/arista y $0$ su ausencia.

4. Respuesta correcta: D — Producto Booleano de matrices

El **producto booleano** de dos matrices booleanas $A$ ($m \times k$) y $B$ ($k \times n$), denotado $A \odot B$, genera una matriz $C$ ($m \times n$) mediante la fórmula: \[ c_{ij} = (a_{i1} \land b_{1j}) \lor (a_{i2} \land b_{2j}) \lor \dots \lor (a_{ik} \land b_{kj}) = \bigvee_{t=1}^k (a_{it} \land b_{tj}) \] Opera como la multiplicación matricial estándar, reemplazando la suma $+$ por el **OR lógico** ($\lor$) y la multiplicación $\cdot$ por el **AND lógico** ($\land$).

5. Respuesta correcta: C — Representación matricial de relaciones

Si $R$ es una relación binaria de un conjunto $A = \{a_1, \dots, a_m\}$ a $B = \{b_1, \dots, b_n\}$, la matriz de la relación $M_R = (m_{ij})$ se define como: \[ m_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } (a_i, b_j) \in R \\ 0 & \text{si } (a_i, b_j) \notin R \end{cases} \] Por consiguiente, la presencia de $M_{ij} = 1$ confirma formalmente que el par $(a_i, b_j)$ está relacionado en $R$.

6. Respuesta correcta: B — Matriz de una relación reflexiva

Una relación $R$ sobre un conjunto $A$ de $n$ elementos es **reflexiva** si $\forall a \in A, (a, a) \in R$. En términos de su matriz booleana cuadrada $M_R$ ($n \times n$): - Toda la **diagonal principal** debe estar formada exclusivamente por unos: $M_{ii} = 1$ para todo $i = 1, \dots, n$. - Los elementos fuera de la diagonal principal pueden ser tanto $0$ como $1$.

7. Respuesta correcta: B — Cierre transitivo de una relación

El **cierre transitivo** de una relación $R$, denotado $R^*$, es la relación transitiva más pequeña que contiene a $R$: - Conserva todos los pares originales de $R$. - Añade el menor número posible de pares adicionales necesarios para satisfacer que si $(a, b) \in R^*$ y $(b, c) \in R^*$, entonces $(a, c) \in R^*$. - En matrices booleanas equivale a $M_{R^*} = M_R \lor M_R^{[2]} \lor M_R^{[3]} \lor \dots \lor M_R^{[n]}$ (calculable mediante el Algoritmo de Warshall).

8. Respuesta correcta: A — Propiedades de las relaciones de equivalencia

Por definición, una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es una **relación de equivalencia** si y solo si cumple tres propiedades simultáneamente: 1. **Reflexiva:** $\forall a \in A, (a, a) \in R$. 2. **Simétrica:** $\forall a, b \in A, (a, b) \in R \implies (b, a) \in R$. 3. **Transitiva:** $\forall a, b, c \in A, (a, b) \in R \land (b, c) \in R \implies (a, c) \in R$.

9. Respuesta correcta: B — Cierre reflexivo

El **cierre reflexivo** de una relación $R$ sobre un conjunto $A$, denotado $r(R)$, es la menor relación reflexiva que contiene a $R$. Se construye uniendo $R$ con la relación de identidad $\Delta_A = \{(a, a) \mid a \in A\}$: \[ r(R) = R \cup \Delta_A \] Algebraicamente añade a $R$ los pares bucle $(a, a)$ que faltaran.

10. Respuesta correcta: A — Composición de relaciones

Dadas las relaciones $R \subseteq A \times B$ y $S \subseteq B \times C$, la **composición de relaciones** $S \circ R$ (o $R \circ S$ según notación) es la relación de $A$ a $C$ definida como: \[ (a, c) \in S \circ R \iff \exists b \in B \text{ tal que } (a, b) \in R \land (b, c) \in S \] La matriz booleana de la composición se obtiene directamente mediante el producto booleano de sus matrices: $M_{S \circ R} = M_R \odot M_S$.

11. Respuesta correcta: C — Definición de Relación Reflexiva

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es **reflexiva** si cada elemento está emparentado o relacionado consigo mismo: \[ \forall a \in A, \quad (a, a) \in R \] *Ejemplos:* La relación $\le$ en los números reales o la relación de igualdad $=$.

12. Respuesta correcta: A — Definición de Relación Simétrica

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es **simétrica** si la relación se verifica de forma bidireccional para todos los elementos: \[ \forall a, b \in A, \quad (a, b) \in R \implies (b, a) \in R \] En su matriz booleana asociada, la matriz es simétrica respecto a su diagonal principal ($M_R = M_R^T$).

13. Respuesta correcta: B — Definición de Relación Antisimétrica

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es **antisimétrica** si no existen pares distintos emparentados en ambas direcciones: \[ \forall a, b \in A, \quad ((a, b) \in R \land (b, a) \in R) \implies a = b \] Equivalentemente: Si $a \neq b$ y $(a, b) \in R$, entonces $(b, a) \notin R$. *Nota:* No prohíbe los pares $(a, a)$ de la diagonal.

14. Respuesta correcta: B — Definición de Relación Transitiva

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es **transitiva** si el encadenamiento de dos relaciones intermedias impone la relación directa: \[ \forall a, b, c \in A, \quad ((a, b) \in R \land (b, c) \in R) \implies (a, c) \in R \] *Ejemplos:* Las relaciones de orden $<, \le$ o la relación de inclusión entre conjuntos $\subseteq$.

15. Respuesta correcta: D — Propiedades no requeridas para Equivalencia

Para ser una **relación de equivalencia** se exige obligatoriamente: - Reflexividad - Simetría - Transitividad La **antisimetría** es una propiedad utilizada en las **relaciones de orden** (parcial o total), pero no en las relaciones de equivalencia (salvo en el caso trivial de la igualdad estricta, simetría y antisimetría son mutuamente excluyentes para elementos distintos).

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Chuleta final: lo imprescindible para aprobar

1. Conceptos básicos de relaciones

• Producto Cartesiano (\(A \times B\)): \(\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}\).
• Relación (\(R\)): Cualquier subconjunto de \(A \times B\).
• Dominio (\(\text{Dom}(R)\)): Conjunto de primeras componentes \(\{a \mid (a, b) \in R\}\).
• Imagen (\(\text{Im}(R)\)): Conjunto de segundas componentes \(\{b \mid (a, b) \in R\}\).

2. Matrices booleanas

• Usan entradas en \(\{0, 1\}\).
• Operaciones: \(\lor\) (OR, disyunción) y \(\land\) (AND, conjunción).
• Producto Booleano (\(A \odot B\)): Multiplicación matricial sustituyendo \(+\) por \(\lor\) y \(\cdot\) por \(\land\).
• Matriz de la Composición: \(M_{S \circ R} = M_R \odot M_S\).

3. Propiedades fundamentales de relaciones sobre A

Propiedad	Definición Formal	En la Matriz Booleana \(M_R\)
Reflexiva	\(\forall a, (a, a) \in R\)	Diagonal principal llena de 1s (\(M_{ii} = 1\))
Irreflexiva	\(\forall a, (a, a) \notin R\)	Diagonal principal llena de 0s (\(M_{ii} = 0\))
Simétrica	\((a, b) \in R \implies (b, a) \in R\)	Matriz simétrica (\(M_R = M_R^T\))
Antisimétrica	\((a, b) \in R \land (b, a) \in R \implies a = b\)	Si \(i \neq j\) y \(M_{ij} = 1 \implies M_{ji} = 0\)
Transitiva	\((a, b) \in R \land (b, c) \in R \implies (a, c) \in R\)	\(M_R \odot M_R \le M_R\)

4. Clasificación de Relaciones y Cierres

• Relación de Equivalencia: Reflexiva + Simétrica + Transitiva.
• Relación de Orden Parcial: Reflexiva + Antisimétrica + Transitiva.
• Cierre Reflexivo: \(r(R) = R \cup \{(a, a) \mid a \in A\}\).
• Cierre Simétrico: \(s(R) = R \cup \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}\).
• Cierre Transitivo: \(t(R) = R^* = \bigcup_{k=1}^n R^k\) (Algoritmo de Warshall).