Test Tarea 2.1: Teoría de Números, Aritmética Modular y Operaciones con Conjuntos

Este test consta de 30 preguntas teóricas y prácticas diseñadas con la misma estructura y plantilla global que el resto del curso. Cubre de forma exhaustiva los contenidos de la Tarea 2: resolución de sistemas de congruencias lineales mediante el Teorema Chino del Resto (TCR), coprimidad, inversos modulares, definición de conjuntos por extensión/comprensión, operaciones fundamentales (unión, intersección, diferencia, complemento, producto cartesiano), diagramas de Venn y demostración/verificación de propiedades algebraicas (distributividad y leyes de De Morgan).

Puntuación y Criterios de Examen

• Preguntas 1 a 30: 0,33 puntos por respuesta correcta (Total: 10 puntos).
• Paso de respuesta única: Selecciona la opción adecuada para cada pregunta y pulsa Comprobar respuestas para calcular tu nota final, ver tus aciertos/fallos y consultar la retroalimentación inmediata.

0 de 30 respondidas ¡Empieza cuando quieras!

1. ¿Qué significa formalmente la expresión de congruencia $a \equiv b \pmod m$?

A. Que al dividir $a$ entre $b$ el cociente es exactamente $m$. B. Que el módulo $m$ divide exactamente a la diferencia $a - b$ (es decir, $a$ y $b$ dejan el mismo resto al dividirse entre $m$). C. Que $a$ y $b$ son números primos entre sí. D. Que $a + b$ es un múltiplo exacto de $m$.

2. ¿Cuál es la condición fundamental que deben cumplir los módulos $m_1, m_2, \dots, m_k$ para garantizar la existencia de solución única módulo $M$ mediante el Teorema Chino del Resto?

A. Que todos los módulos sean números pares. B. Que los módulos estén en progresión aritmética estricta. C. Que sean primos entre sí dos a dos ($\operatorname{mcd}(m_i, m_j) = 1$ para todo $i \neq j$). D. Que la suma de todos los módulos sea un número primo.

3. En el algoritmo del Teorema Chino del Resto para un sistema con módulos $m_1, m_2, \dots, m_k$, ¿cómo se calcula el módulo total $M$ en el que la solución es única?

A. Multiplicando todos los módulos: $M = m_1 \cdot m_2 \cdot \dots \cdot m_k$. B. Calculando el mínimo común múltiplo de los restos $a_i$. C. Sumando todos los módulos: $M = m_1 + m_2 + \dots + m_k$. D. Elevando el primer módulo al número total de ecuaciones.

4. Para cada ecuación $i$ en el algoritmo del TCR, ¿cómo se define la cantidad auxiliar $M_i$?

A. $M_i = M \cdot m_i$ B. $M_i = M / m_i$ (el producto de todos los módulos excepto $m_i$). C. $M_i = M + m_i$ D. $M_i = \operatorname{mcd}(M, m_i)$

5. En el TCR, ¿qué propiedad cumple el factor $y_i$ asociado a cada ecuación?

A. $M_i \cdot y_i \equiv 0 \pmod{m_i}$ B. $y_i = m_i - a_i$ C. $M_i + y_i \equiv 1 \pmod M$ D. Es el inverso modular de $M_i$ módulo $m_i$, satisfaciendo $M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{m_i}$.

6. ¿Cuál es la expresión general para construir la solución simultánea $x$ módulo $M$ en el Teorema Chino del Resto?

A. $x \equiv \sum_{i=1}^k (a_i \cdot M_i \cdot y_i) \pmod M$ B. $x \equiv \prod_{i=1}^k (a_i + M_i + y_i) \pmod M$ C. $x \equiv \sum_{i=1}^k (a_i + m_i) \pmod M$ D. $x \equiv \frac{M}{\sum_{i=1}^k y_i} \pmod M$

7. Resuelve el sistema: $x \equiv 2 \pmod 3$, $x \equiv 3 \pmod 5$, $x \equiv 2 \pmod 7$. ¿Cuál es la menor solución entera positiva?

A. $x = 17$ B. $x = 53$ C. $x = 23$ D. $x = 103$

8. ¿Bajo qué condición existe el inverso modular de un entero $a$ módulo $m$?

A. Siempre existe para cualquier par de enteros $a$ y $m$. B. Si y solo si $\operatorname{mcd}(a, m) = 1$ ($a$ y $m$ son coprimos). C. Solo si $a$ es un número primo mayor que $m$. D. Únicamente si $m$ es un múltiplo par de $a$.

9. ¿Cuál es el inverso modular de $3$ módulo $7$ (es decir, el entero $y \in \{0, 1, \dots, 6\}$ tal que $3y \equiv 1 \pmod 7$)?

A. $5$ B. $2$ C. $4$ D. $3$

10. ¿En qué consiste definir un conjunto por extensión?

A. En enunciar una propiedad lógica que deben cumplir sus elementos. B. En dibujar sus límites dentro de un diagrama cartesiano. C. En enumerar explícitamente uno a uno todos sus elementos dentro de llaves. D. En calcular el número total de subconjuntos de su conjunto potencia.

11. ¿En qué consiste definir un conjunto por comprensión?

A. En contar cuántos elementos tiene el conjunto. B. En ordenar sus elementos de menor a mayor. C. En listar todos sus pares ordenados. D. En especificar la propiedad o condición lógica que caracteriza a sus miembros.

12. Dado el universo $U = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 10\}$. Si $A = \{x \in U \mid x \text{ es par y primo}\}$, $B = \{x \in U \mid x^2 \le 16\}$, ¿cuáles son sus listas por extensión?

A. $A = \{2, 4\}$, $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ B. $A = \{2\}$, $B = \{1, 2, 3, 4\}$ C. $A = \emptyset$, $B = \{2, 4\}$ D. $A = \{2, 3, 5\}$, $B = \{1, 4, 9, 16\}$

13. ¿Qué representa la unión de dos conjuntos $A \cup B$?

A. El conjunto de elementos que pertenecen a $A$, a $B$ o a ambos ($x \in A \lor x \in B$). B. El conjunto de elementos comunes que pertenecen estrictamente a $A$ y a $B$ al mismo tiempo. C. Los elementos de $A$ que no están en $B$. D. El producto cartesiano de sus componentes.

14. ¿Qué representa la intersección de dos conjuntos $A \cap B$?

A. Todos los elementos de $A$ y de $B$ combinados sin repetir. B. El conjunto formado únicamente por los elementos comunes ($x \in A \land x \in B$). C. Todos los elementos del universo fuera de $A$. D. Los elementos de $B$ que no están en $A$.

15. ¿Cómo se define la diferencia de conjuntos $A \setminus B$ (o $A - B$)?

A. $A \setminus B = \{x \in U \mid x \in A \land x \in B\}$ B. $A \setminus B = \{x \in U \mid x \in B \land x \notin A\}$ C. $A \setminus B = \{x \in U \mid x \in A \land x \notin B\}$ D. $A \setminus B = (A \cup B)^c$

16. Dado un conjunto universal $U$, ¿cómo se define el complemento de un conjunto $A$, denotado $A^c$ o $A'$?

A. $A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}$ B. $A^c = A \setminus U$ C. $A^c = A \cap U$ D. $A^c = \{x \in A \mid x \notin U\}$

17. Con $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, $A = \{2, 3, 5, 7\}$, $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. ¿Cuál es el resultado de la diferencia $A \setminus B$?

A. $\{2\}$ B. $\{1, 9\}$ C. $\{4, 6, 8, 10\}$ D. $\{3, 5, 7\}$

18. ¿Cuál de las siguientes identidades expresa correctamente la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión?

A. $A \cap (B \cup C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ B. $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ C. $A \cap (B \cup C) = A \cup (B \cap C)$ D. $A \cap (B \cup C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$

19. ¿Cuál de las siguientes identidades expresa correctamente la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección?

A. $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ B. $A \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ C. $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cup C$ D. $A \cup (B \cap C) = A \cap (B \cup C)$

20. Según las Leyes de De Morgan, ¿a qué es equivalente la expresión $(A \cup B)^c$?

A. $A^c \cup B^c$ B. $A \cap B$ C. $A^c \cap B^c$ D. $A \setminus B$

21. ¿Cómo se define el producto cartesiano de dos conjuntos $A \times B$?

A. El conjunto de las sumas $a + b$ para todo $a \in A, b \in B$. B. El conjunto de pares ordenados $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}$. C. La intersección de las cardinalidades $|A| \cdot |B|$. D. El conjunto de elementos comunes entre $A$ y $B$.

22. Si el conjunto $A$ tiene $3$ elementos y el conjunto $B$ tiene $2$ elementos, ¿cuántos elementos (pares ordenados) tiene el conjunto $A \times B$?

A. $5$ B. $8$ C. $9$ D. $6$

23. ¿Por qué el producto cartesiano $A \times B$ en general NO es conmutativo ($A \times B \neq B \times A$)?

A. Porque en los pares ordenados la posición importa: $(a, b) \neq (b, a)$ salvo si $a = b$. B. Porque $|A \times B|$ es siempre diferente de $|B \times A|$. C. Porque la unión de conjuntos invalida el orden cartesiano. D. Porque solo se pueden multiplicar conjuntos disjuntos.

24. En un diagrama de Venn representativo de 3 conjuntos $A$, $B$ y $C$ contenidos en un universo $U$, ¿en cuántas regiones disjuntas queda dividido el universo?

A. $3$ regiones. B. $6$ regiones. C. $8$ regiones. D. $4$ regiones.

25. En un diagrama de Venn de tres conjuntos $A$, $B$ y $C$, ¿qué región gráfica corresponde a la intersección triple $A \cap B \cap C$?

A. Toda la zona sombreada dentro del círculo $A$. B. La región central común donde se solapan simultáneamente los tres círculos. C. La zona exterior a los tres círculos. D. El área pertenecientes a $A$ y $B$ pero excluyendo $C$.

26. ¿Cuál es la fórmula del Principio de Inclusión-Exclusión para la cardinalidad de la unión de dos conjuntos $|A \cup B|$?

A. $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ B. $|A \cup B| = |A| \cdot |B| - |A \cap B|$ C. $|A \cup B| = |A| + |B| + |A \cap B|$ D. $|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A|$

27. Si dos conjuntos $A$ y $B$ son disjuntos ($A \cap B = \emptyset$), ¿cuál es el valor de su intersección y de la cardinalidad de su unión?

A. $A \cap B = U$ y $|A \cup B| = |A| \cdot |B|$ B. $A \cap B = \{0\}$ y $|A \cup B| = 0$ C. $A \cap B = A$ y $|A \cup B| = |B|$ D. $A \cap B = \emptyset$ y $|A \cup B| = |A| + |B|$

28. En el Principio de Inclusión-Exclusión para 3 conjuntos, ¿por qué motivo se debe SUMAR al final la cardinalidad de la intersección triple $|A \cap B \cap C|$?

A. Porque nunca se había sumado en los términos individuales. B. Porque al restar las intersecciones dobles tres veces, los elementos comunes a los tres conjuntos fueron descontados por completo y deben ser reañadidos. C. Para convertir la unión en un producto cartesiano. D. Es una constante fija equivalente a 1.

29. ¿Cómo se define la diferencia simétrica de dos conjuntos $A \Delta B$?

A. $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ B. $A \Delta B = A \cap B^c$ C. $A \Delta B = (A \cap B)^c$ D. $A \Delta B = A \times B$

30. Según la rúbrica de evaluación oficial de la Tarea 2, ¿qué peso porcentual de la calificación global tiene la correcta resolución del ejercicio del Teorema Chino del Resto (Criterio 1)?

A. $15\%$ B. $20\%$ C. $40\%$ D. $50\%$

Comprobar respuestas Reiniciar test

Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Concepto de Congruencia Linear

Dos números enteros $a$ y $b$ son **congruentes módulo $m$** (escrito $a \equiv b \pmod m$) si su diferencia $a - b$ es un múltiplo entero de $m$. \[ a \equiv b \pmod m \iff m \mid (a - b) \iff \exists k \in \mathbb{Z}, \, a - b = k \cdot m \] Esto equivale a que tanto $a$ como $b$ producen exactamente el mismo resto al ser divididos entre $m$.

2. Respuesta correcta: C — Hipótesis del Teorema Chino del Resto

El **Teorema Chino del Resto** (TCR) garantiza la existencia y unicidad de la solución de un sistema de congruencias: \[ x \equiv a_i \pmod{m_i}, \quad i = 1, 2, \dots, k \] módulo $M = m_1 \cdot m_2 \cdot \dots \cdot m_k$ si y solo si los módulos son **coprimos dos a dos**: \[ \operatorname{mcd}(m_i, m_j) = 1 \quad \forall i \neq j \]

3. Respuesta correcta: A — Módulo total M

En la construcción analítica del TCR, el espacio de soluciones módulo el cual la solución es única es el **producto directo de los módulos individuales**: \[ M = \prod_{i=1}^k m_i = m_1 \cdot m_2 \cdot \dots \cdot m_k \]

4. Respuesta correcta: B — Construcción de M_i

Para cada congruencia $i$, la variable auxiliar $M_i$ se define dividiendo el módulo total $M$ entre el módulo individual $m_i$: \[ M_i = \frac{M}{m_i} = \prod_{j \neq i} m_j \] Por construcción, $M_i$ es divisible por todos los $m_j$ para $j \neq i$, pero es coprimo con $m_i$.

5. Respuesta correcta: D — Inverso modular y_i

Dado que $\operatorname{mcd}(M_i, m_i) = 1$, por el Teorema de Bézout existe un único **inverso modular** $y_i \in \{0, 1, \dots, m_i - 1\}$ tal que: \[ M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{m_i} \]

6. Respuesta correcta: A — Reconstrucción de la solución simultánea

La solución general del sistema de congruencias viene dada por la combinación lineal modular: \[ x \equiv \sum_{i=1}^k a_i \cdot M_i \cdot y_i \pmod M \] Al evaluar $x$ módulo $m_j$, todos los términos con $i \neq j$ se anulan (pues $m_j \mid M_i$), quedando $a_j \cdot (M_j y_j) \equiv a_j \cdot 1 \equiv a_j \pmod{m_j}$.

7. Respuesta correcta: C — Resolución paso a paso del sistema del TCR

Dado el sistema: 1) $x \equiv 2 \pmod 3$ 2) $x \equiv 3 \pmod 5$ 3) $x \equiv 2 \pmod 7$ **Paso 1: Módulo total $M$** \[ M = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 \] **Paso 2: Módulos parciales $M_i$** - $M_1 = 105 / 3 = 35$ - $M_2 = 105 / 5 = 21$ - $M_3 = 105 / 7 = 15$ **Paso 3: Inversos modulares $y_i$** - $35 y_1 \equiv 1 \pmod 3 \implies 2 y_1 \equiv 1 \pmod 3 \implies y_1 = 2$ - $21 y_2 \equiv 1 \pmod 5 \implies 1 y_2 \equiv 1 \pmod 5 \implies y_2 = 1$ - $15 y_3 \equiv 1 \pmod 7 \implies 1 y_3 \equiv 1 \pmod 7 \implies y_3 = 1$ **Paso 4: Solución $x$** \[ x = (2 \cdot 35 \cdot 2) + (3 \cdot 21 \cdot 1) + (2 \cdot 15 \cdot 1) = 140 + 63 + 30 = 233 \] Reduciendo módulo $105$: $233 = 2 \cdot 105 + 23$. Por lo tanto, $x \equiv 23 \pmod{105}$. La menor solución entera positiva es **$23$**.

8. Respuesta correcta: B — Condición para el inverso modular

Un entero $a$ posee inverso multiplicativo módulo $m$ si y solo si $a$ y $m$ son **primos entre sí** ($\operatorname{mcd}(a, m) = 1$). Si $\operatorname{mcd}(a, m) = d > 1$, la ecuación $a z \equiv 1 \pmod m$ no tiene solución.

9. Respuesta correcta: A — Cálculo del inverso modular de 3 mod 7

Buscamos $y \in \{0, 1, \dots, 6\}$ tal que $3y \equiv 1 \pmod 7$: - $3 \cdot 1 = 3 \equiv 3 \pmod 7$ - $3 \cdot 2 = 6 \equiv 6 \pmod 7$ - $3 \cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod 7$ - $3 \cdot 4 = 12 \equiv 5 \pmod 7$ - $3 \cdot 5 = 15 = 2 \cdot 7 + 1 \equiv 1 \pmod 7$ El inverso modular es **$5$**.

10. Respuesta correcta: C — Definición de conjuntos por Extensión

Un conjunto está especificado **por extensión** cuando se listan explícitamente todos sus elementos entre llaves, separados por comas. Ejemplo: $A = \{2, 3, 5, 7\}$.

11. Respuesta correcta: D — Definición de conjuntos por Comprensión

Un conjunto está especificado **por comprensión** cuando se define mediante un predicado o propiedad lógica que deben satisfacer todos sus miembros. Ejemplo: $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ es primo y } x < 10\}$.

12. Respuesta correcta: B — Determinación por Extensión

Universo $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. - $A = \{x \in U \mid x \text{ es par y primo}\}$: El único número par que también es primo es el $2$. Luego $A = \{2\}$. - $B = \{x \in U \mid x^2 \le 16\}$: Los enteros positivos cuyos cuadrados son $\le 16$ son $1, 2, 3, 4$ ($1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16$). Luego $B = \{1, 2, 3, 4\}$.

13. Respuesta correcta: A — Unión de Conjuntos

La **unión** de $A$ y $B$ ($A \cup B$) agrupa a todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos: \[ A \cup B = \{x \in U \mid x \in A \lor x \in B\} \]

14. Respuesta correcta: B — Intersección de Conjuntos

La **intersección** de $A$ y $B$ ($A \cap B$) reúne exclusivamente a los elementos comunes que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos: \[ A \cap B = \{x \in U \mid x \in A \land x \in B\} \]

15. Respuesta correcta: C — Diferencia de Conjuntos

La **diferencia** entre $A$ y $B$ ($A \setminus B$ o $A - B$) es el conjunto de elementos que están en $A$ pero no están en $B$: \[ A \setminus B = \{x \in U \mid x \in A \land x \notin B\} \]

16. Respuesta correcta: A — Complemento de un Conjunto

El **complemento** de $A$ ($A^c$) con respecto al universo $U$ es el conjunto formado por todos los elementos de $U$ que no pertenecen a $A$: \[ A^c = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\} \]

17. Respuesta correcta: D — Cálculo de la Diferencia A \ B

Dados $A = \{2, 3, 5, 7\}$ y $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$: Para hallar $A \setminus B$, tomamos los elementos de $A$ y eliminamos aquellos que también están en $B$ ($2$ es el único elemento común): \[ A \setminus B = \{3, 5, 7\} \]

18. Respuesta correcta: B — Propiedad Distributiva (∩ sobre ∪)

La intersección se distribuye respecto a la unión según la identidad: \[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \]

19. Respuesta correcta: A — Propiedad Distributiva (∪ sobre ∩)

La unión se distribuye respecto a la intersección según la identidad: \[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]

20. Respuesta correcta: C — Primera Ley de De Morgan

La primera **Ley de De Morgan** establece que el complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos: \[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \]

21. Respuesta correcta: B — Producto Cartesiano

El **producto cartesiano** $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(a, b)$ tales que la primera componente $a$ pertenece a $A$ y la segunda componente $b$ pertenece a $B$: \[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\} \]

22. Respuesta correcta: D — Cardinalidad del Producto Cartesiano

La cardinalidad (número de elementos) del producto cartesiano $A \times B$ de dos conjuntos finitos es el producto de las cardinalidades individuales: \[ |A \times B| = |A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6 \]

23. Respuesta correcta: A — No conmutatividad del Producto Cartesiano

Dos pares ordenados $(a, b)$ y $(c, d)$ son iguales si y solo si $a = c$ y $b = d$. Como en general $(a, b) \neq (b, a)$ cuando $a \neq b$, los conjuntos de pares $A \times B$ y $B \times A$ contienen elementos distintos. Por ende, **$A \times B \neq B \times A$**.

24. Respuesta correcta: C — Regiones en Diagramas de Venn

Un Diagrama de Venn de $n$ conjuntos representados en posición general divide al plano universal en $2^n$ regiones disjuntas. Para $n = 3$, el número de regiones es $2^3 = 8$ (7 regiones interiores más la región exterior a todos los conjuntos).

25. Respuesta correcta: B — Región de la Intersección Triple

En la representación gráfica de tres conjuntos $A, B, C$, la región donde se solapan simultáneamente los tres círculos representa la **intersección triple** $A \cap B \cap C$ (los elementos compartidos por $A$, por $B$ y por $C$).

26. Respuesta correcta: A — Principio de Inclusión-Exclusión para 2 conjuntos

Al sumar las cardinalidades $|A| + |B|$, los elementos pertenecientes a la intersección $A \cap B$ son contados dos veces. Para corregir este exceso, se debe restar su cardinalidad: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]

27. Respuesta correcta: D — Conjuntos Disjuntos

Dos conjuntos $A$ y $B$ son **disjuntos** si no tienen ningún elemento en común, es decir, su intersección es el conjunto vacío $A \cap B = \emptyset$. En consecuencia, $|A \cap B| = 0$ y $|A \cup B| = |A| + |B|$.

28. Respuesta correcta: B — Explicación del Principio de Inclusión-Exclusión (3 conjuntos)

La fórmula para 3 conjuntos es: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C| \] Al restar las tres intersecciones dobles, los elementos pertenecientes a la intersección triple $A \cap B \cap C$ fueron sumados 3 veces inicialmente y restados 3 veces a continuación, quedando excluidos del cómputo. Por ello, es necesario **sumar $|A \cap B \cap C|$ una vez** para incluirlos correctamente.

29. Respuesta correcta: A — Diferencia Simétrica

La **diferencia simétrica** de $A$ y $B$ ($A \Delta B$) reúne a los elementos que pertenecen a $A$ o a $B$, pero no a ambos a la vez (unión exclusiva): \[ A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \]

30. Respuesta correcta: C — Ponderación del Criterio 1 en la Tarea 2

En la rúbrica oficial asignada para la Tarea 2, el **Criterio 1** (Aplicación correcta del Teorema Chino del Resto) tiene un peso del **40%** de la nota total, siendo el apartado de mayor valor académico de la actividad.

---

Chuleta final: conceptos clave para el examen de la Tarea 2

1. Aritmética Modular y Teorema Chino del Resto (TCR)

• Congruencia: \(a \equiv b \pmod m \iff m \mid (a - b)\).
• Inverso Modular: Existe \(z\) tal que \(a \cdot z \equiv 1 \pmod m \iff \operatorname{mcd}(a, m) = 1\).
• Algoritmo del TCR (\(k\) ecuaciones):
• \(M = m_1 \cdot m_2 \cdot \dots \cdot m_k\) (con \(\operatorname{mcd}(m_i, m_j) = 1\)).
• \(M_i = \frac{M}{m_i}\).
• Hallar \(y_i\) tal que \(M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{m_i}\).
• Solución: \(x \equiv \sum_{i=1}^k (a_i \cdot M_i \cdot y_i) \pmod M\).

2. Operaciones con Conjuntos

Operación	Definición Formal
Unión (\(A \cup B\))	\(\{x \in U \mid x \in A \lor x \in B\}\)
Intersección (\(A \cap B\))	\(\{x \in U \mid x \in A \land x \in B\}\)
Diferencia (\(A \setminus B\))	\(\{x \in U \mid x \in A \land x \notin B\}\)
Complemento (\(A^c\))	\(\{x \in U \mid x \notin A\} = U \setminus A\)
Diferencia Simétrica (\(A \Delta B\))	\((A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\)
Producto Cartesiano (\(A \times B\))	\(\{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}\). Cardinalidad: \(\|A \times B\| = \|A\| \cdot \|B\|\).

3. Propiedades Leyes Algebraicas de Conjuntos

• Distributivas:
• \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
• \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• Leyes de De Morgan:
• \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)
• \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
• Inclusión-Exclusión:
• \(\|A \cup B\| = \|A\| + \|B\| - \|A \cap B\|\)
• \(\|A \cup B \cup C\| = \|A\| + \|B\| + \|C\| - (\|A \cap B\| + \|A \cap C\| + \|B \cap C\|) + \|A \cap B \cap C\|\)