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Test Tarea 2.2: Teoría de Números, Aritmética Modular y Operaciones con Conjuntos

Este segundo test consta de 30 preguntas teóricas y prácticas completamente nuevas y diferenciadas, diseñadas con la misma estructura y plantilla global que el resto del curso. Cubre en profundidad los contenidos de la Tarea 2: algoritmo extendido de Euclídes, inversos modulares, teoremas de la teoría de números (Fermat/Euler), resolución paso a paso del Teorema Chino del Resto (TCR), álgebra de conjuntos, propiedades de las operaciones (distributiva, asociativa, absorción), conjunto potencia, diferencia simétrica y representación en diagramas de Venn.

Puntuación y Criterios de Examen

  • Preguntas 1 a 30: 0,33 puntos por respuesta correcta (Total: 10 puntos).
  • Paso de respuesta única: Selecciona la opción adecuada para cada pregunta y pulsa Comprobar respuestas para calcular tu nota final, ver tus aciertos/fallos y consultar la retroalimentación inmediata.
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1. ¿Qué tipo de relación matemática sobre el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$ define la congruencia módulo $m$ ($a \equiv b \pmod m$)?
2. ¿Qué teorema de la teoría de números justifica algebraicamente la existencia del inverso modular $a^{-1} \pmod m$ cuando $\operatorname{mcd}(a, m) = 1$?
3. ¿Qué algoritmo sistemático se utiliza en la práctica computacional para hallar el inverso modular $y_i$ de $M_i$ módulo $m_i$?
4. ¿Cuál es el inverso modular de $5$ en $\mathbb{Z}_{11}$ (módulo $11$)?
5. ¿Qué ocurre si intentamos aplicar la fórmula estándar del TCR a un sistema donde dos módulos $m_1$ y $m_2$ no son coprimos ($\operatorname{mcd}(m_1, m_2) = d > 1$)?
6. Dado el sistema: $x \equiv 1 \pmod 2$, $x \equiv 2 \pmod 3$, $x \equiv 3 \pmod 5$. ¿Cuál es la menor solución positiva $x$?
7. Si $x_0$ es la menor solución positiva obtenida por el TCR para un módulo total $M$, ¿cuál es la forma de la solución general entera?
8. ¿Cuál es el valor de la función totiente de Euler $\phi(p)$ si $p$ es un número primo?
9. ¿Qué establece el Pequeño Teorema de Fermat para un número primo $p$ y un entero $a$ tal que $\operatorname{mcd}(a, p) = 1$?
10. Apoyándote en el Pequeño Teorema de Fermat, ¿cómo se puede expresar directamente el inverso modular de $a$ módulo un primo $p$?
11. ¿Cuándo se considera que dos conjuntos $A$ y $B$ son estrictamente iguales ($A = B$)?
12. Si un conjunto $A$ tiene $3$ elementos ($|A| = 3$), ¿cuántos elementos (subconjuntos) tiene su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$?
13. ¿Cuál de las siguientes opciones lista correctamente el conjunto potencia $\mathcal{P}(S)$ para $S = \{1, 2\}$?
14. Dado $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$. ¿Cuál es el resultado del conjunto $(A \cup B)^c$?
15. De acuerdo con la Ley de Absorción en álgebra de conjuntos, ¿a qué se simplifica la expresión $A \cup (A \cap B)$?
16. Según las Leyes de De Morgan, ¿a qué es equivalente la expresión $(A \cap B)^c$?
17. ¿Cuál es el resultado de aplicar la complementación dos veces consecutivas $((A^c)^c)$ a un conjunto $A$?
18. Expresa la diferencia $A \setminus B$ en términos de intersección y complemento.
19. Sean $A = \{a, b\}$ y $B = \{1, 2\}$. ¿Cuál es el listado correcto del producto cartesiano $A \times B$?
20. ¿A qué es igual el producto cartesiano de un conjunto $A$ por el conjunto vacío ($A \times \emptyset$)?
21. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la diferencia simétrica $A \Delta B$ es CORRECTA?
22. ¿Cuál es el resultado de la diferencia simétrica de un conjunto $A$ consigo mismo ($A \Delta A$)?
23. ¿Cuál es el resultado de la diferencia simétrica de un conjunto $A$ con el conjunto vacío ($A \Delta \emptyset$)?
24. Si $|A| = 20$, $|B| = 15$ y $|A \cup B| = 30$, ¿cuántos elementos contiene la intersección $|A \cap B|$?
25. Siguiendo con los datos del ejercicio anterior ($|A| = 20, |B| = 15, |A \cap B| = 5$), ¿cuántos elementos tiene la diferencia exclusiva $|A \setminus B|$?
26. En un diagrama de Venn con 3 conjuntos $A$, $B$ y $C$, ¿qué describe geométricamente la región $A \setminus (B \cup C)$?
27. ¿Cómo se denominan las propiedades algebraicas $A \cup A = A$ y $A \cap A = A$?
28. Para demostrar rigurosamente la igualdad entre dos expresiones de conjuntos $X = Y$ mediante lógica proposicional, ¿qué método de doble inclusión se debe utilizar?
29. Según los criterios de evaluación de la Tarea 2, ¿qué peso porcentual de la calificación global tiene la representación gráfica en diagramas de Venn (Criterio 3)?
30. De acuerdo con las pautas formales de elaboración de la Tarea 2, ¿cuál es la extensión máxima permitida para el documento final?

Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Congruencia como relación de equivalencia La congruencia módulo $m$ satisface: 1. **Reflexiva:** $a \equiv a \pmod m$ porque $m \mid (a - a) = 0$. 2. **Simétrica:** Si $a \equiv b \pmod m$, entonces $b \equiv a \pmod m$. 3. **Transitiva:** Si $a \equiv b \pmod m$ y $b \equiv c \pmod m$, entonces $a \equiv c \pmod m$. Por tanto, particiona $\mathbb{Z}$ en $m$ clases de equivalencia distintas.
2. Respuesta correcta: C — Identidad de Bézout El **Teorema de Bézout** afirma que para dos enteros $a$ y $m$, existen coeficientes $x, y \in \mathbb{Z}$ tales que: \[ a \cdot x + m \cdot y = \operatorname{mcd}(a, m) \] Si $\operatorname{mcd}(a, m) = 1$, reduciendo la ecuación módulo $m$ obtenemos $a \cdot x \equiv 1 \pmod m$, lo que demuestra que $x$ es el **inverso modular** de $a$ en $\mathbb{Z}_m$.
3. Respuesta correcta: A — Algoritmo Extendido de Euclídes El **Algoritmo Extendido de Euclídes** realiza divisiones sucesivas para calcular $\operatorname{mcd}(a, m)$ y desanda los pasos expresando el mcd como combinación lineal $a x + m y = \operatorname{mcd}(a, m)$, obteniendo así el valor del inverso $x = a^{-1} \pmod m$.
4. Respuesta correcta: D — Inverso modular de 5 mod 11 Buscamos $y \in \{0, 1, \dots, 10\}$ tal que $5 y \equiv 1 \pmod{11}$: - $5 \cdot 9 = 45 = 4 \cdot 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$. Por consiguiente, $5^{-1} \equiv 9 \pmod{11}$.
5. Respuesta correcta: B — Módulos no coprimos en el TCR Si dos módulos $m_i$ y $m_j$ comparten un divisor común $d > 1$, la cantidad auxiliar $M_i = M / m_i$ también contendrá al factor $d$. En consecuencia, $\operatorname{mcd}(M_i, m_i) = d > 1$, impidiendo la existencia del inverso modular $y_i$ módulo $m_i$ y provocando el fallo del método analítico directo.
6. Respuesta correcta: C — Resolución de sistema de 3 congruencias Sistema: $x \equiv 1 \pmod 2$, $x \equiv 2 \pmod 3$, $x \equiv 3 \pmod 5$. 1. **Módulo total:** $M = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. 2. **Módulos parciales:** - $M_1 = 30 / 2 = 15$ - $M_2 = 30 / 3 = 10$ - $M_3 = 30 / 5 = 6$ 3. **Inversos modulares:** - $15 y_1 \equiv 1 \pmod 2 \implies 1 y_1 \equiv 1 \pmod 2 \implies y_1 = 1$. - $10 y_2 \equiv 1 \pmod 3 \implies 1 y_2 \equiv 1 \pmod 3 \implies y_2 = 1$. - $6 y_3 \equiv 1 \pmod 5 \implies 1 y_3 \equiv 1 \pmod 5 \implies y_3 = 1$. 4. **Construcción de $x$:** \[ x = (1 \cdot 15 \cdot 1) + (2 \cdot 10 \cdot 1) + (3 \cdot 6 \cdot 1) = 15 + 20 + 18 = 53 \] 5. **Reducción módulo 30:** $53 = 1 \cdot 30 + 23 \implies x \equiv 23 \pmod{30}$.
7. Respuesta correcta: A — Estructura de la solución general del TCR Por el TCR, la solución es única módulo $M$. Todas las soluciones enteras congruentes vienen dadas por la clase de equivalencia: \[ x \in [x_0] = \{x_0 + k \cdot M \mid k \in \mathbb{Z}\} \]
8. Respuesta correcta: D — Función Totiente para números primos La **función $\phi(n)$ de Euler** cuenta cuántos enteros $1 \le k \le n$ son coprimos con $n$. Si $p$ es un número primo, todos los números enteros menores que $p$ ($1, 2, \dots, p-1$) son primos con él, por lo que $\phi(p) = p - 1$.
9. Respuesta correcta: B — Pequeño Teorema de Fermat Si $p$ es primo y $a$ no es divisible por $p$ ($\operatorname{mcd}(a, p) = 1$), el **Pequeño Teorema de Fermat** establece: \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \] Multiplicando por $a$ en ambos miembros se obtiene la forma equivalente $a^p \equiv a \pmod p$.
10. Respuesta correcta: A — Cálculo del inverso modular con Fermat Reescribiendo el Pequeño Teorema de Fermat: \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \implies a \cdot \left(a^{p-2}\right) \equiv 1 \pmod p \] Por definición de inverso modular, $a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p$.
11. Respuesta correcta: C — Axioma de Extensión En lógica formal de conjuntos, dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales ($A = B$) si y solo si poseen exactamente los mismos elementos: \[ A = B \iff (\forall x, x \in A \iff x \in B) \iff A \subseteq B \land B \subseteq A \]
12. Respuesta correcta: B — Cardinalidad del conjunto potencia El conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$ es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de $A$. Para un conjunto con $|A| = n$ elementos: \[ |\mathcal{P}(A)| = 2^n \] Si $n = 3$, $|\mathcal{P}(A)| = 2^3 = 8$ subconjuntos.
13. Respuesta correcta: A — Construcción de P(S) Para $S = \{1, 2\}$ ($n = 2$ elementos, luego $2^2 = 4$ subconjuntos): - Subconjunto de 0 elementos: $\emptyset$ - Subconjuntos de 1 elemento: $\{1\}, \{2\}$ - Subconjunto de 2 elementos: $\{1, 2\}$ Luego $\mathcal{P}(S) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$.
14. Respuesta correcta: D — Cálculo del complemento de la unión Dados $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4, 5\}$: 1. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. 2. $(A \cup B)^c = U \setminus (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{6\}$.
15. Respuesta correcta: B — Ley de Absorción Las **Leyes de Absorción** simplifican expresiones donde se combinan la unión y la intersección con un mismo conjunto: \[ A \cup (A \cap B) = A \quad \text{y} \quad A \cap (A \cup B) = A \]
16. Respuesta correcta: C — Segunda Ley de De Morgan La segunda **Ley de De Morgan** establece que el complemento de la intersección es la unión de los complementos: \[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \]
17. Respuesta correcta: A — Ley de Involución La ley de involución establece que el complemento del complemento de un conjunto $A$ recupera exactamente el conjunto $A$ original: \[ (A^c)^c = A \]
18. Respuesta correcta: D — Expresión de la diferencia mediante complemento La diferencia de conjuntos $A \setminus B$ se define de forma equivalente como la intersección de $A$ con el complemento de $B$: \[ A \setminus B = A \cap B^c \]
19. Respuesta correcta: B — Listado de A × B Para $A = \{a, b\}$ y $B = \{1, 2\}$: Tomando cada elemento de $A$ como primera componente y cada elemento de $B$ como segunda componente: \[ A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)\} \]
20. Respuesta correcta: A — Producto cartesiano con conjunto vacío Por definición, $A \times \emptyset = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in \emptyset\}$. Como no existe ningún elemento $b \in \emptyset$, no se puede formar ningún par ordenado. Por lo tanto, $A \times \emptyset = \emptyset$.
21. Respuesta correcta: C — Asociatividad de la diferencia simétrica La diferencia simétrica posee la propiedad de **asociatividad**: \[ (A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C) \] Esta propiedad permite definir diferencias simétricas múltiples sin necesidad de paréntesis.
22. Respuesta correcta: B — Diferencia simétrica A Δ A Aplicando la definición $A \Delta A = (A \setminus A) \cup (A \setminus A)$: Como $A \setminus A = \emptyset$, tenemos $\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$.
23. Respuesta correcta: D — Elemento neutro de la diferencia simétrica Aplicando la definición $A \Delta \emptyset = (A \setminus \emptyset) \cup (\emptyset \setminus A)$: Como $A \setminus \emptyset = A$ y $\emptyset \setminus A = \emptyset$, tenemos $A \cup \emptyset = A$. Por lo tanto, $\emptyset$ es el **elemento neutro** de la diferencia simétrica.
24. Respuesta correcta: A — Cálculo de |A ∩ B| mediante Inclusión-Exclusión Sustituyendo en la fórmula $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$: \[ 30 = 20 + 15 - |A \cap B| \implies 30 = 35 - |A \cap B| \implies |A \cap B| = 35 - 30 = 5 \]
25. Respuesta correcta: C — Cardinalidad de la diferencia exclusive La cardinalidad de la diferencia $A \setminus B$ es el número de elementos de $A$ quitando los elementos comunes: \[ |A \setminus B| = |A| - |A \cap B| = 20 - 5 = 15 \]
26. Respuesta correcta: B — Región exclusiva en diagramas de Venn La expresión $A \setminus (B \cup C)$ resta de $A$ todos los elementos que están en $B$ o en $C$, dejando aislada la región gráfica formada únicamente por los elementos **exclusivos de $A$**.
27. Respuesta correcta: D — Leyes de Idempotencia Las **Leyes de Idempotencia** indican que operar un conjunto consigo mismo mediante la unión o la intersección no modifica el conjunto: \[ A \cup A = A \quad \text{y} \quad A \cap A = A \]
28. Respuesta correcta: A — Doble inclusión para probar la igualdad En teoría de conjuntos, la forma matemática estándar de probar que dos conjuntos son iguales ($X = Y$) consiste en demostrar la **doble inclusión**: 1. Proveer que $X \subseteq Y$ (si $x \in X \implies x \in Y$). 2. Proveer que $Y \subseteq X$ (si $y \in Y \implies y \in X$).
29. Respuesta correcta: C — Ponderación del Criterio 3 de la Tarea 2 En la rúbrica oficial de la Tarea 2, el **Criterio 3** (Representación gráfica en el diagrama de Venn) tiene asignado un peso del **10%** de la calificación global.
30. Respuesta correcta: B — Extensión máxima permitida Las pautas de elaboración fijan una extensión máxima de **5 páginas** en formato Calibri 12, interlineado 1,5. Cumplir este límite y la claridad formal de presentación equivale al 20% de la nota (Criterio 5).

Chuleta final: fórmulas y leyes avanzadas para la Tarea 2

1. Álgebra de Conjuntos (Leyes fundamentales)

  • Leyes de De Morgan:
  • \((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)
  • \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
  • Leyes de Absorción:
  • \(A \cup (A \cap B) = A\)
  • \(A \cap (A \cup B) = A\)
  • Leyes Distributivas:
  • \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  • \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
  • Involución y Complemento:
  • \((A^c)^c = A\)
  • \(A \setminus B = A \cap B^c\)
  • \(A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\)

2. Conjunto Potencia y Producto Cartesiano

  • Conjunto Potencia \(\mathcal{P}(A)\): \(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}\).
  • Producto Cartesiano \(A \times B\): \(|A \times B| = |A| \cdot |B|\). \(A \times \emptyset = \emptyset\).

3. Aritmética Modular y Teoremas Clave

  • Inverso Modular con Fermat: Si \(p\) es primo y \(\operatorname{mcd}(a, p) = 1\), \(a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod p\).
  • Algoritmo de Bézout: \(a \cdot x + m \cdot y = 1 \implies x = a^{-1} \pmod m\).
  • Teorema Chino del Resto:
  • \(M = \prod m_i\)
  • \(M_i = M / m_i\)
  • \(M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{m_i}\)
  • \(x \equiv \sum a_i M_i y_i \pmod M\)