Test Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales y eliminación de Gauss

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1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre un sistema de ecuaciones lineales?

A. Un sistema de ecuaciones lineales siempre tiene una solución única. B. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. C. Un sistema de ecuaciones lineales siempre tiene infinitas soluciones. D. Un sistema de ecuaciones lineales nunca tiene solución.

2. ¿Qué implica que la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales sea invertible?

A. Que el sistema tiene infinitas soluciones. B. Que el sistema no tiene solución. C. Que el sistema tiene una solución única. D. Que la matriz de coeficientes es singular.

3. ¿Cuál es la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales?

A. A · x = b, donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. B. A + x = b, donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. C. A · x = 0, donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes. D. A · x + b = 0, donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas y b el vector de términos independientes.

4. ¿Qué significa que una matriz sea singular?

A. La matriz tiene un determinante distinto de cero. B. La matriz es simétrica. C. La matriz no tiene inversa. D. La matriz tiene filas linealmente independientes.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el rango de una matriz?

A. El rango de una matriz es siempre igual al número de columnas. B. El rango de una matriz es el número máximo de filas linealmente independientes. C. El rango de una matriz es siempre igual al número de filas. D. El rango de una matriz no tiene relación con las filas linealmente independientes.

6. ¿Cuál es el objetivo principal del método de eliminación de Gauss?

A. Convertir una matriz en una matriz diagonal. B. Convertir una matriz en una matriz triangular superior para resolver el sistema de ecuaciones de manera recursiva. C. Encontrar el determinante de la matriz. D. Calcular la inversa de la matriz.

7. ¿Qué significa el término «pivotaje parcial escalado» en el contexto de la eliminación de Gauss?

A. Seleccionar el pivote más pequeño y situarlo en la primera fila. B. Seleccionar el pivote más grande y situarlo en la primera fila, después dividir la fila por el elemento y restar las filas para hacer 0 los elementos inferiores. C. Seleccionar cualquier pivote y situarlo en la última fila. D. Ignorar el pivote y proceder con la eliminación.

8. ¿Cuál de las siguientes propiedades es cierta sobre un sistema de ecuaciones lineales después de aplicar la eliminación de Gauss?

A. El sistema siempre se convierte en un sistema inconsistente. B. El sistema siempre se convierte en un sistema homogéneo. C. El sistema se convierte en uno con una matriz triangular superior. D. El sistema se convierte en uno con una matriz diagonal.

9. ¿Cuál es el propósito de restar una fila de otra multiplicada por un coeficiente durante la eliminación de Gauss?

A. Intercambiar las filas. B. Hacer que uno de los elementos de la fila inferior sea cero para formar una matriz triangular superior. C. Multiplicar las filas por un escalar. D. Dividir la fila por un coeficiente.

10. ¿Qué es una matriz ampliada en el contexto de la eliminación de Gauss?

A. Una matriz que incluye tanto los coeficientes del sistema de ecuaciones como los términos independientes en una sola matriz. B. Una matriz con filas adicionales añadidas al final. C. Una matriz con columnas adicionales añadidas al final. D. Una matriz que se utiliza solo para encontrar la inversa de la matriz original.

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe un sistema compatible determinado?

A. Un sistema con una única solución. B. Un sistema sin soluciones. C. Un sistema con infinitas soluciones. D. Un sistema que no se puede resolver.

12. ¿Qué caracteriza a un sistema compatible indeterminado?

A. Tiene una única solución. B. No tiene soluciones. C. Tiene infinitas soluciones. D. Su solución depende de un parámetro arbitrario.

13. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones es incompatible?

A. El sistema tiene una única solución. B. El sistema no tiene ninguna solución. C. El sistema tiene infinitas soluciones. D. El sistema se puede resolver fácilmente.

14. ¿Qué indica una ecuación como 0=2 en un sistema de ecuaciones lineales?

A. El sistema tiene una única solución. B. El sistema tiene infinitas soluciones. C. El sistema es incompatible. D. El sistema es trivialmente cierto.

15. ¿Cuál es la forma matricial de un sistema compatible determinado?

A. Una matriz con un rango menor que el número de incógnitas. B. Una matriz con un rango igual al número de incógnitas. C. Una matriz con un rango mayor que el número de incógnitas. D. Una matriz cuadrada singular.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Posibles soluciones de un sistema lineal

Un sistema de ecuaciones lineales solo puede presentar tres tipos de comportamiento geométrico y algebraico: 1. **Solución única:** Las rectas, planos o hiperplanos se cortan en un único punto (Sistema Compatible Determinado). 2. **Infinitas soluciones:** Las ecuaciones son dependientes y comparten un espacio de intersección continuo (Sistema Compatible Indeterminado). 3. **Ninguna solución:** Las rectas o planos son paralelos y no se intersecan en ningún punto (Sistema Incompatible). **Para el examen:** Nunca existe un sistema lineal con exactamente 2, 3 o un número finito mayor que 1 de soluciones. O tiene 0, o 1, o $\infty$.

2. Respuesta correcta: C — Matriz de coeficientes invertible

Dado un sistema escrito en forma matricial: \[ A x = b \] Si la matriz de coeficientes $A$ es **invertible** (lo que exige que $A$ sea cuadrada de orden $n \times n$ y que $\det(A) \neq 0$), podemos multiplicar por $A^{-1}$ a la izquierda en ambos miembros: \[ A^{-1} (A x) = A^{-1} b \implies I x = A^{-1} b \implies x = A^{-1} b \] Como la inversa $A^{-1}$ es única, el vector de incógnitas $x$ queda determinado de forma única. **Para el examen:** Matriz invertible $\iff \det(A) \neq 0 \iff \text{rango}(A) = n \iff$ Solución única (SCD).

3. Respuesta correcta: A — Forma matricial A · x = b

Cualquier sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas de la forma: \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \] Se expresa mediante la ecuación matricial $A x = b$, donde: - $A$ es la matriz de coeficientes de tamaño $m \times n$. - $x$ es el vector columna de incógnitas de tamaño $n \times 1$. - $b$ es el vector columna de términos independientes de tamaño $m \times 1$.

4. Respuesta correcta: C — Matriz singular

Por definición, una matriz cuadrada $A$ es **singular** cuando su determinante es nulo: \[ \det(A) = 0 \] Al ser el determinante igual a cero, sus filas (o columnas) son linealmente dependientes. En consecuencia, la matriz **no admite inversa** ($A^{-1}$ no existe). **Para el examen:** - Singular = Sin inversa ($\det = 0$). - Regular (o No singular) = Con inversa ($\det \neq 0$).

5. Respuesta correcta: B — Definición de rango

El **rango** de una matriz $A$ es el número máximo de filas linealmente independientes que contiene (lo cual coincide exactamente con el número máximo de columnas linealmente independientes). - Si una matriz de tamaño $m \times n$ se reduce a forma escalonada mediante operaciones elementales de fila, el rango es igual al número de **filas no nulas** (o número de pivotes). - El rango está acotado por $\text{rango}(A) \le \min(m, n)$.

6. Respuesta correcta: B — Objetivo de la eliminación de Gauss

El método de eliminación de Gauss realiza transformaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada $[A \mid b]$ con el objetivo de convertir la matriz de coeficientes $A$ en una **matriz triangular superior** (o forma escalonada). Una vez escalonada la matriz, el sistema se resuelve fácilmente de abajo hacia arriba mediante el procedimiento de **sustitución regresiva**. **Diferencia clave:** - **Eliminación de Gauss:** Lleva la matriz a forma triangular superior / escalonada. - **Gauss-Jordan:** Continúa el proceso hasta obtener la matriz diagonal / escalonada reducida por filas.

7. Respuesta correcta: B — Pivotaje parcial escalado

En el **pivotaje parcial escalado**: 1. Para cada fila $i$, se calcula un factor de escala $s_i = \max_j |a_{ij}|$. 2. En la columna $k$ del paso actual de eliminación, se compara la magnitud relativa de los elementos respecto a su escala: $\frac{|a_{ik}|}{s_i}$. 3. Se selecciona como pivote la fila que maximiza dicho cociente y se intercambia con la fila actual si es necesario. Este procedimiento previene la propagación de errores de redondeo cuando se trabaja con aritmética de punto flotante en computadoras.

8. Respuesta correcta: C — Matriz resultante tras aplicar Gauss

Al finalizar las operaciones de eliminación hacia adelante en el método de Gauss sobre un sistema de matriz cuadrada $n \times n$, los elementos situados por debajo de la diagonal principal se convierten en ceros ($a_{ij} = 0$ para todo $i > j$). Esto produce una **matriz triangular superior**, lo que simplifica el cálculo de las soluciones comenzando por la última variable $x_n$.

9. Respuesta correcta: B — Operaciones elementales de fila

En la eliminación de Gauss se utiliza la tercera operación elemental por filas: \[ F_i \leftarrow F_i - k \cdot F_j \] Donde $k = \frac{a_{ik}}{a_{jk}}$ es el multiplicador calculado a partir del pivote $a_{jk}$. El propósito exclusivo de esta combinación lineal es **anular el coeficiente** $a_{ik}$ ubicado en la posición por debajo del pivote actual, avanzando progresivamente en la construcción de la forma triangular superior.

10. Respuesta correcta: A — Matriz ampliada

La **matriz ampliada** (denotada como $[A \mid b]$ o $A^*$) se forma adjuntando la columna de términos independientes $b$ a la derecha de la matriz de coeficientes $A$: \[ [A \mid b] = \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \end{array} \right) \] Cualquier operación elemental realizada en la fila de $A$ debe aplicarse simultáneamente al término independiente correspondiente en $b$.

11. Respuesta correcta: A — Sistema Compatible Determinado (SCD)

Un sistema es: - **Compatible:** Posee al menos una solución. - **Determinado:** Dicha solución es única. Por tanto, un **Sistema Compatible Determinado (SCD)** es aquel que tiene una **única solución**. Geométricamente representa el punto exacto en el espacio donde todas las ecuaciones lineales se intersecan simultáneamente.

12. Respuesta correcta: C — Sistema Compatible Indeterminado (SCI)

Un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** se caracteriza por tener **infinitas soluciones**. Esto ocurre algebraicamente cuando el sistema posee menos ecuaciones independientes que incógnitas (al menos una variable libre o parámetro indeterminado, ej. $x_3 = \lambda$).

13. Respuesta correcta: B — Sistema Incompatible (SI)

Un **Sistema Incompatible (SI)** es aquel que **no tiene ninguna solución**. Geométricamente representa ecuaciones inconsistentes entre sí (por ejemplo, dos rectas o planos paralelos no coincidentes). Algebraicamente conduce a absurdos del tipo $0 = c$ (con $c \neq 0$).

14. Respuesta correcta: C — Contradicción 0 = 2

Si durante el proceso de eliminación por filas se obtiene una fila de la matriz ampliada con todos los coeficientes de las variables nulos y un término independiente distinto de cero: \[ [0 \quad 0 \quad \dots \quad 0 \mid c] \quad \text{con } c \neq 0 \] Esta fila equivale a la ecuación $0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + \dots + 0 \cdot x_n = c \implies 0 = c$. Dado que esta condición es una imposibilidad matemática (contradicción), demuestra que el **sistema es incompatible** (sin solución).

15. Respuesta correcta: B — Criterio de Rouché-Capelli para SCD

De acuerdo con el **Teorema de Rouché-Capelli**: - Un sistema $A x = b$ con $n$ incógnitas es compatible si y solo si $\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b])$. - Será **compatible determinado** (solución única) si y solo si este rango común es exactamente igual al **número de incógnitas** $n$: \[ \text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = n \]

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Chuleta final: lo imprescindible para aprobar

1. Clasificación de sistemas (Teorema de Rouché-Capelli)

Dado un sistema de \(m\) ecuaciones con \(n\) incógnitas \([A \mid b]\):

Tipo de Sistema	Condición de Rangos	Número de Soluciones
Compatible Determinado (SCD)	\(\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = n\)	Solución única
Compatible Indeterminado (SCI)	\(\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = r < n\)	Infinitas soluciones (\(n - r\) parámetros libres)
Incompatible (SI)	\(\text{rango}(A) \neq \text{rango}([A \mid b])\)	Sin solución

2. Conceptos clave de la eliminación de Gauss

• Matriz Ampliada \([A \mid b]\): Junta coeficientes y términos independientes en una sola estructura.
• Operaciones Elementales:
• Intercambiar dos filas (\(F_i \leftrightarrow F_j\)).
• Multiplicar una fila por un escalar no nulo (\(F_i \leftarrow k \cdot F_i\)).
• Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar (\(F_i \leftarrow F_i + k \cdot F_j\)).
• Fase de Eliminación: Anula los elementos por debajo de cada pivote para obtener una matriz triangular superior.
• Sustitución Regresiva: Despeja las variables comenzando desde la última fila hacia la primera.
• Inconsistencia: Una fila del tipo \([0 \quad 0 \quad \dots \quad 0 \mid c]\) con \(c \neq 0\) representa \(0 = c\), lo cual señala inmediatamente un Sistema Incompatible.