Test Tema 6: Teoría de números, congruencias y criptografía

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1. ¿Cuál es el objetivo principal del algoritmo de Euclides?

A. Encontrar el mínimo común múltiplo de dos números. B. Encontrar el máximo común divisor de dos números. C. Factorizar un número en sus factores primos. D. Resolver ecuaciones lineales.

2. ¿Qué relación existe entre el algoritmo de Euclides y la identidad de Bézout?

A. No hay relación entre ellos. B. El algoritmo de Euclides se utiliza para probar la identidad de Bézout. C. La identidad de Bézout es una consecuencia del algoritmo de Euclides. D. El algoritmo de Euclides es una consecuencia de la identidad de Bézout.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el máximo común divisor (MCD)?

A. El MCD de dos números es siempre uno de los números originales. B. El MCD de dos números es el producto de los dos números. C. El MCD de dos números puede expresarse como una combinación lineal de esos números. D. El MCD de dos números es siempre menor que ambos números.

4. ¿Cómo se determina el MCD de dos números usando el algoritmo de Euclides?

A. Sumando los dos números y dividiendo el resultado por dos. B. Dividiendo repetidamente el mayor número por el menor y tomando el residuo hasta que el residuo sea cero. C. Restando el menor número del mayor repetidamente hasta que el resultado sea cero. D. Multiplicando los dos números y dividiendo por su suma.

5. ¿Qué establece el Teorema Fundamental de la Aritmética?

A. Todo número entero positivo mayor que uno puede ser expresado de forma única como un producto de factores primos. B. Todo número entero positivo mayor que uno puede ser expresado de forma única como una suma de números primos. C. Todo número entero positivo puede ser descompuesto en números racionales. D. Todo número entero positivo mayor que uno tiene al menos un divisor primo.

6. ¿Cuál es la forma general de una congruencia lineal?

A. ax+b ≡ 0 (mod n) B. ax ≡ b (mod n) C. a+bx ≡ 0 (mod n) D. a+b+x ≡ 0 (mod n)

7. ¿Qué establece el pequeño teorema de Fermat?

A. Si p es primo, entonces pᵃ ≡ 1 (mod a). B. Si p es primo y a no es divisible por p, entonces aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p). C. Si p es primo y a no es divisible por p, entonces aᵖ ≡ 1 (mod p). D. Si p es primo y a es divisible por p, entonces aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p).

8. ¿Cómo se aplica el pequeño teorema de Fermat en criptografía?

A. Para encriptar mensajes mediante el uso de claves simétricas. B. Para determinar el máximo común divisor de dos números. C. Para simplificar cálculos modulares en criptografía de clave pública. D. Para generar números aleatorios seguros.

9. ¿Cuál es el resultado de aplicar el Pequeño Teorema de Fermat a a=3 y p=7?

A. 3⁶ ≡ 1 (mod 7) B. 3⁷ ≡ 1 (mod 7) C. 3⁷ ≡ 3 (mod 7) D. 3⁶ ≡ 0 (mod 7)

10. ¿Cuál es la aplicación del teorema chino del resto en sistemas de congruencias lineales?

A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas. B. Encontrar una solución única a sistemas de congruencias lineales con módulos coprimos. C. Factorizar números enteros en sus factores primos. D. Calcular la inversa de una matriz.

11. ¿Qué es la criptografía?

A. La ciencia de ocultar mensajes en medios visibles. B. El estudio de los principios y técnicas utilizados para proteger la información. C. El proceso de compresión de datos para almacenamiento eficiente. D. La técnica de analizar el rendimiento de sistemas de comunicación.

12. ¿Cuál es la base de la seguridad del algoritmo Diffie-Hellman?

A. La dificultad de factorizar números grandes. B. La dificultad de calcular logaritmos discretos. C. La dificultad de encontrar raíces cuadradas. D. La dificultad de sumar grandes cantidades de números.

13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente el algoritmo RSA?

A. RSA se basa en la dificultad de resolver el problema del camino más corto en un grafo. B. RSA se basa en la dificultad de calcular logaritmos discretos. C. RSA se basa en la dificultad de factorizar números enteros grandes. D. RSA se basa en la dificultad de encontrar números primos.

14. En el algoritmo Diffie-Hellman, ¿qué se intercambia entre las partes para establecer una clave compartida?

A. Los números secretos elegidos por cada parte. B. Los números primos utilizados en los cálculos. C. Los valores públicos calculados por cada parte. D. Los mensajes cifrados con la clave compartida.

15. ¿Cuál es uno de los principales usos del algoritmo RSA?

A. La generación de números aleatorios. B. La compresión de datos. C. La protección de contraseñas y la autenticación de identidad. D. El análisis de grandes volúmenes de datos.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Objetivo del algoritmo de Euclides

El **algoritmo de Euclides** es un método antiguo y extremadamente eficiente para calcular el **máximo común divisor (MCD)** de dos números enteros. - Se apoya en la propiedad $\operatorname{mcd}(a, b) = \operatorname{mcd}(b, r)$, donde $r$ es el resto de la división entera $a / b$. - Aplica divisiones de forma iterativa hasta alcanzar un resto igual a 0. - El último resto no nulo obtenido es exactamente el $\operatorname{mcd}(a, b)$.

2. Respuesta correcta: C — Relación entre Euclides y Bézout

La **Identidad de Bézout** establece que para cualquier par de enteros $a$ y $b$ existen enteros $x, y \in \mathbb{Z}$ tales que: \[ a x + b y = \operatorname{mcd}(a, b) \] El **Algoritmo Extendido de Euclides** no solo calcula el MCD, sino que invierte iterativamente los pasos del algoritmo clásico para despejar y calcular expresamente dichos coeficientes $x$ e $y$. Por ello, la identidad de Bézout es una consecuencia constructiva del algoritmo.

3. Respuesta correcta: C — Propiedades del MCD y combinación lineal

El máximo común divisor de dos números enteros $a$ y $b$ cumple que: - Siempre puede expresarse como una combinación lineal entera de $a$ y $b$ ($ax + by = \operatorname{mcd}(a, b)$). - **Aclaración sobre las falsas:** No tiene por qué ser uno de los números originales (ej. $\operatorname{mcd}(12, 8) = 4$). Tampoco es siempre menor que ambos números, ya que si $a = b$, entonces $\operatorname{mcd}(a, a) = a$.

4. Respuesta correcta: B — Proceso del algoritmo de Euclides

El algoritmo sigue este flujo iterativo: 1. Dividir el número mayor $a$ entre el menor $b$, obteniendo cociente $q$ y resto $r$: $a = b \cdot q + r$. 2. Si $r = 0$, el divisor $b$ es el MCD. 3. Si $r \neq 0$, se reemplaza $a \leftarrow b$ y $b \leftarrow r$, repitiendo la división hasta obtener resto 0.

5. Respuesta correcta: A — Teorema Fundamental de la Aritmética

El **Teorema Fundamental de la Aritmética** establece que todo número entero $n > 1$: 1. Se puede expresar como un producto de uno o varios números primos. 2. Dicha descomposición o factorización es **única**, salvo por el orden de los factores primos. *Ejemplo:* $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. No existe ningún otro grupo de números primos cuyo producto dé 60.

6. Respuesta correcta: B — Forma general de una congruencia lineal

Una **congruencia lineal** de una variable es una expresión con la forma: \[ a x \equiv b \pmod n \] Donde $a, b \in \mathbb{Z}$ y $n \in \mathbb{Z}^+$ ($n > 1$). Resolverla consiste en hallar los enteros $x$ tales que $n$ divida exactamente a $(ax - b)$. Admite solución si y solo si $\operatorname{mcd}(a, n)$ divide a $b$.

7. Respuesta correcta: B — Pequeño Teorema de Fermat

El **Pequeño Teorema de Fermat** afirma que si $p$ es un número primo y $a$ es un entero no divisible por $p$ ($\operatorname{mcd}(a, p) = 1$), entonces: \[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \] *Forma alternativa universal:* $a^p \equiv a \pmod p$ para todo entero $a$.

8. Respuesta correcta: C — Aplicación criptográfica de Fermat

El Pequeño Teorema de Fermat permite trabajar con exponentes de enorme tamaño en aritmética modular: - Al reducir un exponente $e$ módulo $(p-1)$, los cálculos numéricos se simplifican exponencialmente. - Constituye un pilar clave en el desarrollo de algoritmos de clave pública, test de primalidad (como Fermat o Miller-Rabin) y cifrado asimétrico.

9. Respuesta correcta: A — Ejemplo del Pequeño Teorema de Fermat

Para $a = 3$ y $p = 7$: - Dado que $p = 7$ es primo y 7 no divide a 3 ($\operatorname{mcd}(3,7) = 1$), aplicamos la fórmula $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$: \[ 3^{7-1} = 3^6 \equiv 1 \pmod 7 \] *Comprobación:* $3^6 = 729$. Al dividir $729 / 7 = 104$ con resto $1$ ($729 = 7 \cdot 104 + 1$).

10. Respuesta correcta: B — Teorema Chino del Resto (TCR)

El **Teorema Chino del Resto** garantiza que si $n_1, n_2, \dots, n_k$ son enteros positivos coprimos dos a dos ($\operatorname{mcd}(n_i, n_j) = 1$), el sistema de congruencias: \[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{n_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_k \pmod{n_k} \end{cases} \] Posee una **única solución** módulo el producto $N = n_1 \cdot n_2 \cdots n_k$.

11. Respuesta correcta: B — Definición de Criptografía

La **criptografía** es la rama de las matemáticas y la informática que estudia los métodos y técnicas diseñados para proteger la información y asegurar las comunicaciones. Sus cuatro pilares fundamentales son: - **Confidencialidad:** Garantizar que solo los destinatarios autorizados lean el mensaje. - **Integridad:** Asegurar que el mensaje no haya sido modificado. - **Autenticidad:** Confirmar la identidad del emisor. - **No repudio:** Impedir que el emisor niegue haber enviado el mensaje.

12. Respuesta correcta: B — Base de seguridad de Diffie-Hellman

El protocolo de intercambio de claves **Diffie-Hellman** basa su seguridad en el **Problema del Logaritmo Discreto (PLD)**: - Dado $y = g^x \pmod p$, es extremadamente rápido calcular $y$ conociendo $g, x, p$. - Sin embargo, calcular el exponente privado $x$ a partir únicamente de $y, g, p$ es computacionalmente inviable para primos $p$ suficientemente grandes.

13. Respuesta correcta: C — Fundamento del algoritmo RSA

El algoritmo criptográfico asimétrico **RSA** debe su seguridad a la **dificultad de factorización de enteros grandes**: - Es muy sencillo multiplicar dos primos grandes $p$ y $q$ para obtener $n = p \cdot q$. - Pero es computacionalmente intratable obtener los factores primos originales $p$ y $q$ conociendo solo el módulo público $n$.

14. Respuesta correcta: C — Intercambio en Diffie-Hellman

En Diffie-Hellman: 1. Alice elige un secreto privado $a$ y transmite a Bob su **valor público** $A = g^a \pmod p$. 2. Bob elige un secreto privado $b$ y transmite a Alice su **valor público** $B = g^b \pmod p$. 3. Ambos calculan la clave compartida $K = B^a \pmod p = A^b \pmod p = g^{ab} \pmod p$. **Clave:** Los secretos $a$ y $b$ jamás se transmiten por la red.

15. Respuesta correcta: C — Usos principales de RSA

RSA es un estándar global de **criptografía de clave pública** utilizado para: - Autenticación de identidad mediante **firmas digitales**. - Intercambio seguro de claves de cifrado simétrico y protección de datos en protocolos como TLS/SSL, HTTPS o SSH. *(Nota: Para almacenar contraseñas en bases de datos no se utiliza cifrado asimétrico como RSA, sino funciones de hash criptográfico con sal como Argon2id, bcrypt o PBKDF2).*

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Chuleta final: lo imprescindible para aprobar

1. Teoría de números básica

• Algoritmo de Euclides: Calcula el \(\operatorname{mcd}(a,b)\) mediante divisiones sucesivas hasta que el resto es 0.
• Identidad de Bézout: \(\operatorname{mcd}(a,b) = ax + by\) para enteros \(x, y\).
• Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero \(> 1\) se factoriza de forma única como producto de primos.

2. Aritmética modular y teoremas clave

• Congruencia: \(a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b)\).
• Pequeño Teorema de Fermat: Si \(p\) es primo y \(\operatorname{mcd}(a, p) = 1 \implies a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).
• Teorema Chino del Resto: Resuelve sistemas de congruencias de forma única módulo \(N = \prod n_i\) si los módulos \(n_i\) son coprimos dos a dos.

3. Criptografía moderna

Algoritmo	Tipo de Clave	Fundamento Matemático	Uso Principal
Diffie-Hellman	Clave Pública / Privada	Dificultad del Logaritmo Discreto	Acuerdo/Intercambio seguro de clave compartida
RSA	Asimétrico (Pública / Privada)	Dificultad de Factorización de primos grandes (\(n = p \cdot q\))	Cifrado asimétrico y Firmas Digitales