Test Tema 3: Recursión y matrices

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1. ¿Qué son las funciones recursivas?

A. Funciones que siempre retornan el mismo valor. B. Funciones que se definen en función de sí mismas. C. Funciones que solo se utilizan en matemáticas. D. Funciones que no pueden llamarse a sí mismas.

2. Para poder realizar la suma de dos matrices, ¿qué condición se debe cumplir?

A. Que el número de columnas de la primera coincida con las filas de la segunda. B. Que ambas matrices sean cuadradas de orden n. C. Que ambas matrices tengan las mismas dimensiones (mismo número de filas y de columnas). D. Que una de las matrices sea la matriz identidad.

3. ¿Cuál es una propiedad fundamental del producto de matrices que lo diferencia del álgebra tradicional?

A. El producto de matrices no es conmutativo: normalmente, A × B no es igual a B × A. B. El orden de los factores no altera nunca el resultado. C. Solo se pueden multiplicar matrices que sean exactamente iguales. D. El elemento neutro del producto es la matriz cero.

4. ¿Cómo se define una matriz simétrica?

A. Es una matriz donde solo los coeficientes de la diagonal son distintos de cero. B. Es una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a uno. C. Es una matriz que tiene todos sus coeficientes superiores iguales a cero. D. Es una matriz cuadrada cuyos elementos son iguales a los situados en la posición reflejada respecto a la diagonal: aᵢⱼ = aⱼᵢ.

5. ¿Cómo se calcula la potencia de una matriz cuadrada, por ejemplo A²?

A. Elevando cada coeficiente individual de la matriz al cuadrado. B. Multiplicando la matriz por su matriz transpuesta. C. Sumando la matriz consigo misma dos veces. D. Multiplicando la matriz por sí misma: A × A.

6. ¿Qué condición fundamental debe cumplirse para que una matriz B sea la inversa de una matriz A?

A. Que la suma de ambas matrices sea igual a la matriz cero. B. Que A × B y B × A den como resultado la matriz identidad. C. Que la matriz A sea rectangular con más filas que columnas. D. Que todos los elementos de la diagonal de B sean negativos.

7. ¿En qué consiste la operación de trasponer una matriz?

A. En multiplicar todos los coeficientes por un número negativo. B. En calcular el determinante y dividirlo por cada fila. C. En convertir las filas en columnas y las columnas en filas. D. En eliminar la última fila y la última columna.

8. ¿Cuál es el resultado de calcular el determinante de una matriz?

A. Una nueva matriz del mismo orden. B. Siempre el número cero. C. Una matriz identidad si el determinante es positivo. D. Un número escalar (un único número).

9. Si A y B son matrices invertibles, ¿cuál es la inversa de su producto (A × B)⁻¹?

A. B⁻¹ × A⁻¹: las inversas aparecen en orden contrario. B. A⁻¹ × B⁻¹: las inversas mantienen el mismo orden. C. La inversa de un producto no se puede calcular. D. Es igual a la transpuesta de la suma de ambas matrices.

10. ¿Qué sucede con el determinante de una matriz si tiene una fila o una columna formada completamente por ceros?

A. El determinante es igual a uno. B. El determinante se vuelve infinito. C. El determinante es cero. D. El determinante coincide necesariamente con el primer elemento a₁₁.

11. ¿Qué define a una matriz booleana o matriz 0-1?

A. Una matriz cuyos elementos son números enteros del 0 al 9. B. Una matriz en la que todos los elementos son exclusivamente ceros o unos. C. Una matriz que solo contiene unos en su diagonal principal. D. Una matriz que resulta de dividir todos sus elementos por el determinante.

12. ¿Cuál es la condición necesaria para realizar la unión (disyunción) o intersección de dos matrices booleanas?

A. Que ambas matrices tengan las mismas dimensiones (m × n). B. Que las columnas de la primera coincidan con las filas de la segunda. C. Que al menos una sea la matriz identidad. D. Que ambas sean cuadradas.

13. En la intersección booleana de dos elementos, ¿cuándo es el resultado igual a 1?

A. Cuando al menos uno de los dos elementos es 1. B. Cuando ambos elementos son 0. C. Solo cuando ambos elementos son 1. D. Cuando la suma de los elementos es mayor que 1.

14. ¿Cómo se realiza el producto booleano de dos matrices?

A. Sumando directamente los elementos correspondientes. B. Como el producto matricial habitual, pero usando AND (intersección) para combinar y OR (unión) para reunir los resultados. C. Multiplicando únicamente cada elemento por el que ocupa la misma posición. D. Calculando los determinantes y multiplicándolos.

15. ¿Por qué son importantes las matrices booleanas en computación?

A. Porque permiten realizar cálculos con decimales de alta precisión. B. Porque sus operaciones de unión e intersección sirven para representar relaciones y realizar operaciones lógicas usadas en programas y algoritmos. C. Porque son las únicas matrices que pueden invertirse mediante Gauss. D. Porque eliminan la necesidad de utilizar variables en programación.

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Soluciones explicadas: aprende pregunta por pregunta

1. Respuesta correcta: B — Funciones que se definen en función de sí mismas

Una **función recursiva** es una función que se llama a sí misma para resolver un problema más pequeño. **Ejemplo: el factorial.** El factorial de 4 es: - \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\). - Podemos definirlo así: `factorial(n) = n * factorial(n-1)`. - Pero necesitamos un final: `factorial(1) = 1`. La función va reduciendo el problema hasta llegar al **caso base**. Sin ese caso base, la función continuaría ejecutándose indefinidamente hasta causar un desbordamiento de memoria. **Para el examen:** recursión = función que se llama a sí misma + condición de parada (caso base).

2. Respuesta correcta: C — Misma dimensión para sumar matrices

Para sumar dos matrices, sumamos los elementos que ocupan exactamente la misma posición. Por ello, ambas matrices deben tener **el mismo número de filas y el mismo número de columnas**. Ejemplo: \[ \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix} \] El elemento de la posición (1,1) se suma con el de la posición (1,1), el (1,2) con el (1,2), etc. **Ojo en el examen:** la suma de matrices no requiere que las matrices sean cuadradas, únicamente que tengan exactamente las mismas dimensiones (\(m \times n\)).

3. Respuesta correcta: A — El producto de matrices no es conmutativo

En la aritmética ordinaria, el orden de los factores no altera el producto (\(2 \times 3 = 3 \times 2\)). Sin embargo, en el álgebra matricial, por regla general: \[ A \times B \ne B \times A \] Además, para que se pueda calcular \(A \times B\), el número de **columnas** de la primera matriz \(A\) debe ser igual al número de **filas** de la segunda matriz \(B\). Al cambiar el orden a \(B \times A\), es posible que la operación ni siquiera esté definida. **Para el examen:** el producto de matrices no es conmutativo. El orden en el que escribes las matrices importa.

4. Respuesta correcta: D — Definición de matriz simétrica

Una **matriz simétrica** es una matriz cuadrada que no cambia al intercambiar sus filas por sus columnas. Es decir, coincide con su matriz traspuesta: \[ A = A^T \quad \iff \quad a_{ij} = a_{ji} \] Esto implica que los elementos son simétricos respecto a la **diagonal principal**. Ejemplo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] Los elementos en las posiciones (1,2) y (2,1) son iguales a 2. **Truco:** para que una matriz sea simétrica, primero debe ser obligatoriamente cuadrada.

5. Respuesta correcta: D — Potencia de una matriz

Calcular la potencia de una matriz cuadrada (por ejemplo, \(A^2\)) significa multiplicarla por sí misma mediante el **producto matricial**: \[ A^2 = A \times A \] **Error común:** no se deben elevar al cuadrado los coeficientes individuales de la matriz. La operación requiere aplicar el procedimiento completo de producto matricial (fila por columna). **Condición:** la matriz debe ser cuadrada para poder multiplicar \(A\) por sí misma.

6. Respuesta correcta: B — Definición de matriz inversa

La matriz inversa es el análogo del inverso multiplicativo de un número real (\(5 \cdot \frac{1}{5} = 1\)). En matrices, la **matriz identidad** \(I\) actúa como el número 1. Si la matriz \(B\) es la inversa de \(A\) (se denota como \(A^{-1}\)), debe cumplirse: \[ A \times B = B \times A = I \] **Para el examen:** - Una matriz solo puede tener inversa si es **cuadrada** y su **determinante es distinto de cero** (\(\det(A) \neq 0\)). - Si \(\det(A) = 0\), la matriz se llama *singular* o no invertible.

7. Respuesta correcta: C — Trasponer una matriz

La operación de **trasposición** consiste en intercambiar las filas por las columnas de una matriz. Se denota por \(A^T\). Ejemplo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \implies A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \] Si la matriz original \(A\) tiene dimensión \(m \times n\), su traspuesta \(A^T\) tendrá dimensión \(n \times m\). **Para el examen:** la primera fila de \(A\) se convierte en la primera columna de \(A^T\), la segunda fila en la segunda columna, etc.

8. Respuesta correcta: D — El determinante es un número escalar

El **determinante** es un valor numérico único (un escalar) asociado a una matriz cuadrada. Para una matriz de orden 2: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies \det(A) = ad - bc \] **Propiedad clave:** el determinante indica si la matriz es invertible. Si \(\det(A) \neq 0\), la matriz admite inversa. Si \(\det(A) = 0\), la matriz no tiene inversa.

9. Respuesta correcta: A — Inversa del producto de dos matrices

Al calcular la inversa del producto de dos matrices invertibles \(A\) y \(B\), el orden de los factores se invierte: \[ (A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1} \] **Demostración rápida:** \[ (A \times B) \times (B^{-1} \times A^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1} = A \times I \times A^{-1} = A \times A^{-1} = I \] **Truco:** la propiedad de "invertir el orden" también se aplica a la traspuesta de un producto: \((A \times B)^T = B^T \times A^T\).

10. Respuesta correcta: C — Fila o columna de ceros en un determinante

Si una matriz cuadrada tiene una fila entera o una columna entera compuesta por ceros, su determinante es automáticamente cero: \[ \det(A) = 0 \] Ejemplo: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0 \] **Para el examen:** una línea nula hace que las filas o columnas sean linealmente dependientes, lo cual anula el determinante e impide que la matriz tenga inversa.

11. Respuesta correcta: B — Matriz booleana o 0-1

Una **matriz booleana** (o matriz 0-1) es aquella cuyos elementos pertenecen únicamente al conjunto \(\{0, 1\}\). Se utilizan para representar relaciones binarias y estructuras en ciencias de la computación: - `0` representa falso, ausencia de conexión o sin relación. - `1` representa verdadero, presencia de conexión o con relación. **Ejemplo:** representan las matrices de adyacencia de grafos dirigidos o redes.

12. Respuesta correcta: A — Dimensiones en operaciones booleanas

Las operaciones de **unión** (disyunción, \(\lor\)) e **intersección** (conjunción, \(\land\)) entre matrices booleanas se evalúan elemento a elemento en cada posición \((i, j)\). Por consiguiente, es estrictamente necesario que ambas matrices tengan exactamente el **mismo tamaño** (\(m \times n\)). Ejemplo de unión elemento a elemento: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \lor \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\lor 1 & 0\lor 1 \\ 0\lor 0 & 1\lor 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

13. Respuesta correcta: C — Intersección booleana (AND)

La intersección de dos matrices booleanas equivale a aplicar la operación lógica **AND** (\(\land\)) posición por posición: | A | B | A \(\land\) B | |:-:|:-:|:-------------:| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | **1** | **Regla:** el resultado solo es 1 cuando **ambos** elementos comparados son igual a 1.

14. Respuesta correcta: B — Producto booleano de matrices

El **producto booleano** de dos matrices \(A\) (de tamaño \(m \times k\)) y \(B\) (de tamaño \(k \times n\)), denotado como \(A \odot B\), utiliza la misma estructura que el producto matricial ordinario, reemplazando: - La multiplicación ordinaria por la intersección **AND** (\(\land\)). - La suma ordinaria por la unión **OR** (\(\lor\)). El elemento en la posición \((i, j)\) del resultado viene dado por: \[ c_{ij} = (a_{i1} \land b_{1j}) \lor (a_{i2} \land b_{2j}) \lor \dots \lor (a_{ik} \land b_{kj}) \] **Requisito:** el número de columnas de \(A\) debe ser igual al número de filas de \(B\).

15. Respuesta correcta: B — Aplicación de matrices booleanas en informática

Las matrices booleanas son fundamentales en informática porque permiten manipular estructuras lógicas avanzadas mediante álgebra binaria: - Representación de **grafos** y redes de datos (matrices de adyacencia). - Cálculo de **cierres transitivos** (algoritmo de Warshall). - Consultas en **bases de datos relacionales** y operaciones de lógica digital. **Para el examen:** la unión e intersección en matrices booleanas permiten realizar búsquedas y procesar conexiones de manera óptima a nivel de bits.

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Chuleta final: lo imprescindible para aprobar

1. Operaciones con matrices ordinarias

Operación	Condición requerida	Propiedad clave
Suma / Resta	Mismo tamaño (\(m \times n\))	Elemento a elemento.
Producto (\(A \times B\))	Columnas de \(A\) = Filas de \(B\)	No conmutativo (\(A \times B \neq B \times A\)).
Matriz traspuesta (\(A^T\))	Cualquier dimensión	Intercambia filas por columnas.
Matriz inversa (\(A^{-1}\))	Cuadrada y \(\det(A) \neq 0\)	\(A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I\).
Inversa del producto	\(A\) y \(B\) invertibles	\((A \times B)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}\).

2. Determinantes y matrices especiales

• Matriz simétrica: Cuadrada que cumple \(A = A^T\) (\(a_{ij} = a_{ji}\)).
• Determinante: Un único número escalar.
• Línea de ceros: Si una fila o columna es completa de ceros, \(\det(A) = 0\).

3. Operaciones con matrices booleanas (0-1)

• Unión (\(A \lor B\)): Aplica OR elemento a elemento (requiere mismo tamaño).
• Intersección (\(A \land B\)): Aplica AND elemento a elemento (da 1 solo si ambos son 1).
• Producto booleano (\(A \odot B\)): Esquema de producto matricial sustituyendo multiplicaciones por AND y sumas por OR.